Resolva as equações.
4 \sqrt{3 x-1}=\frac{2}{3}-2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
4\sqrt{3x-1}=\frac{2}{3}-2x.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Há uma raiz quadrada \sqrt{3x-1}, o que impõe uma condição de domínio sobre x.
  • A incógnita é x (procurar todos os valores reais que satisfazem a equação).

Passo 2

Condição de existência da raiz: para que \sqrt{3x-1} esteja definida (real), o radicando deve ser não negativo. Logo,
3x-1\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x\ge \frac{1}{3}.
Anotação didática: sempre que aparecer \sqrt{\cdot} em equações reais, primeiro impõe-se essa condição de domínio.

Passo 3

Observação sobre sinais (muito útil para evitar soluções extranas ao quadrar): o lado esquerdo 4\sqrt{3x-1} é sempre não negativo, pois \sqrt{3x-1}\ge 0. Portanto, para que a igualdade valha é preciso que o lado direito também seja não negativo:
\frac{2}{3}-2x \ge 0 \quad\Rightarrow\quad -2x \ge -\frac{2}{3}\quad\Rightarrow\quad x\le \frac{1}{3}.
Combinação com a condição de domínio x\ge \frac{1}{3}
x\ge\frac{1}{3}\\ \text{e}\\ x\le\frac{1}{3}\quad\Rightarrow\quad x=\frac{1}{3}.
Comentário didático: essa dedução imediata já fornece um candidato único; é sempre bom testar esse candidato na equação original.

Passo 4

Verificação direta do candidato x=\frac{1}{3}:
Calcular a parte esquerda:
4\sqrt{3\cdot\frac{1}{3}-1}=4\sqrt{1-1}=4\sqrt{0}=0.
Calcular a parte direita:
\frac{2}{3}-2\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{3}-\frac{2}{3}=0.
Como os dois lados coincidem (ambos 0), x=\frac{1}{3} é solução válida.

Passo 5

(Facultativo, mas importante didaticamente) Método padrão: isolar a raiz e elevar ao quadrado para ver todas as soluções possíveis (algumas podem ser extranas e precisam ser rejeitadas). Isolando a raiz:
\sqrt{3x-1}=\frac{1}{4}\left(\frac{2}{3}-2x\right).
Elevar ao quadrado:
3x-1=\frac{1}{16}\left(\frac{2}{3}-2x\right)^2.
Multiplicando por 16 e desenvolvendo o quadrado:
16(3x-1)=\left(\frac{2}{3}-2x\right)^2 = \frac{4}{9}-\frac{8}{3}x+4x^2.
Multiplicando tudo por 9 para eliminar denominadores:
9\cdot16(3x-1)=9\left(\frac{4}{9}-\frac{8}{3}x+4x^2\right)
432x-144=4+36x^2-24x.
Rearranjando:
36x^2-456x+148=0.
Dividindo por 4:
9x^2-114x+37=0.
Usando a fórmula de Bhaskara, o discriminante é
\Delta = (-114)^2-4\cdot 9\cdot 37=12996-1332=11664=(108)^2.
Assim as raízes são
x=\frac{114\pm 108}{18}.
Isso dá duas soluções candidatas:
x=\frac{114+108}{18}=\frac{222}{18}=\frac{37}{3},\qquad x=\frac{114-108}{18}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}.
Agora verificar cada uma na equação original:
  • Para x=\frac{1}{3} já verificamos que funciona.
  • Para x=\frac{37}{3}: a parte esquerda é 4\sqrt{3\cdot\frac{37}{3}-1}=4\sqrt{37-1}=4\sqrt{36}=24, enquanto a direita é \frac{2}{3}-2\cdot\frac{37}{3}=\frac{2-74}{3}=-\frac{72}{3}=-24. Como 24\neq -24, essa raiz é extrana (resultado da elevação ao quadrado) e deve ser rejeitada.

Passo 6

Conclusão final: a única solução real da equação, após verificação, é x=\dfrac{1}{3}.

Resposta

\displaystyle x=\frac{1}{3}

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