Resolva as equações.
Passo 1
O enunciado pede resolver a equação
Informações dadas e o que é pedido:
- Tem-se uma raiz quadrada à esquerda, portanto o lado esquerdo é um número não negativo.
- A incógnita é
real; devemos encontrar todos os que satisfazem a igualdade.
Passo 2
Condição de existência da raiz: o argumento da raiz quadrada deve ser não negativo. Assim:
Essa desigualdade significa
Isto é uma restrição inicial sobre os possíveis valores de
.
Passo 3
Observação sobre sinais: como
é não negativo para todo
admissível, o lado direito também precisa ser não negativo. Logo devemos ter
Resolvendo essa inequação:
Passo 4
Combinação das restrições: os candidatos
devem satisfazer simultaneamente
Como
, a interseção fica
Qualquer solução obtida depois deve pertencer a esse intervalo; em particular devemos eliminar soluções que violem
.
Passo 5
Isolamento e elevação ao quadrado: a equação já tem a raiz isolada; agora elevamos ambos os lados ao quadrado (lembrando que isso pode introduzir raízes extranhas, por isso há que verificar depois):
Simplificando:
Passo 6
Rearranjar em forma polinomial e resolver: somando
aos dois lados e subtraindo
,
o que dá
Temos uma quadrática. Calcular o discriminante:
Raiz quadrada do discriminante é
. As raízes são
Portanto as soluções da quadrática são
Passo 7
Verificação das candidatas na equação original (importante para eliminar extranas):
- Para
: computar lados.
Temos
, falso. Além disso
viola a condição
. Logo
é extranho e deve ser rejeitado.
- Para
: computar lados.
Temos igualdade
, verdadeira. Além disso
satisfaz
. Logo
é solução válida.
Passo 8
Conclusão: a única solução real da equação é