Resolva as equações.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A incógnita é
(número real). - A presença de uma raiz quadrada implica que o radicando
deve ser não negativo. - A expressão do lado direito
aparece igualada à raiz, e a raiz quadrada devolve sempre um valor não negativo, o que impõe uma restrição adicional sobre .
Passo 2
Determinar as restrições de domínio (condições necessárias antes de manipular a equação).
- Do radicando:
implica
- Do lado direito: como
é sempre não negativo, precisamos de , portanto
Juntando as duas condições, a restrição que realmente importa é
Explicação breve (didática): quando temos uma equação do tipo
algo, sempre checamos que o “algo” possa ser um número não negativo, pois a raiz quadrada principal não gera valores negativos. Isso evita criar soluções espúrias ao elevar ambos os lados ao quadrado.
Passo 3
Agora que sabemos que qualquer solução deve satisfazer
, podemos elevar ambos os lados ao quadrado com segurança (já que ambos os lados são não negativos no domínio):
Isso simplifica para
Desenvolvendo o quadrado do lado direito (explicando a expansão):
. Assim
Passo 4
Isolar todos os termos de um lado e simplificar:
Calcular termo a termo:
Portanto obtemos a equação quadrática
Fatorando em evidência
:
Dessa fatoração tiramos as soluções candidatas:
Passo 5
Checar cada candidato com as restrições do Passo 2 e na equação original (para descartar raízes extranhas introduzidas ao elevar ao quadrado).
-
Para
: essa raiz não satisfaz a restrição . Logo é extrana e deve ser rejeitada sem nem precisar verificar na equação original. -
Para
: primeiro verifica-se a restrição . Como , está ok. Agora substituímos na equação original para confirmar:
e
Os dois lados coincidem, então
é de fato solução.
Comentário didático final: ao elevar ambos os lados ao quadrado é comum aparecerem raízes extranhas (como
aqui), por isso é obrigatório verificar as soluções candidatas na equação original e respeitar as restrições de domínio.