Resolva as equações.
\sqrt{x+1}=2 x-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\sqrt{x+1}=2x-1.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A incógnita é x (número real).
  • A presença de uma raiz quadrada implica que o radicando x+1 deve ser não negativo.
  • A expressão do lado direito 2x-1 aparece igualada à raiz, e a raiz quadrada devolve sempre um valor não negativo, o que impõe uma restrição adicional sobre 2x-1.

Passo 2

Determinar as restrições de domínio (condições necessárias antes de manipular a equação).
  • Do radicando: \,x+1\ge 0\, implica
x\ge -1.
  • Do lado direito: como \sqrt{x+1} é sempre não negativo, precisamos de \,2x-1\ge 0\,, portanto
2x-1\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x\ge \tfrac{1}{2}.
Juntando as duas condições, a restrição que realmente importa é
x\ge \tfrac{1}{2}.
Explicação breve (didática): quando temos uma equação do tipo \sqrt{\cdot} = algo, sempre checamos que o “algo” possa ser um número não negativo, pois a raiz quadrada principal não gera valores negativos. Isso evita criar soluções espúrias ao elevar ambos os lados ao quadrado.

Passo 3

Agora que sabemos que qualquer solução deve satisfazer \,x\ge \tfrac{1}{2}, podemos elevar ambos os lados ao quadrado com segurança (já que ambos os lados são não negativos no domínio):
\big(\sqrt{x+1}\big)^2=(2x-1)^2.
Isso simplifica para
x+1 = (2x-1)^2.
Desenvolvendo o quadrado do lado direito (explicando a expansão): (2x-1)^2 = (2x)^2 -2\cdot(2x)\cdot1 +1^2 = 4x^2 -4x +1. Assim
x+1 = 4x^2 -4x +1.

Passo 4

Isolar todos os termos de um lado e simplificar:
0 = 4x^2 -4x +1 - (x+1).
Calcular termo a termo:
4x^2 -4x +1 -x -1 = 4x^2 -5x.
Portanto obtemos a equação quadrática
4x^2 -5x = 0.
Fatorando em evidência x:
x(4x-5)=0.
Dessa fatoração tiramos as soluções candidatas:
x=0 \quad\text{ou}\quad x=\dfrac{5}{4}.

Passo 5

Checar cada candidato com as restrições do Passo 2 e na equação original (para descartar raízes extranhas introduzidas ao elevar ao quadrado).
  • Para x=0: essa raiz não satisfaz a restrição x\ge \tfrac{1}{2}. Logo x=0 é extrana e deve ser rejeitada sem nem precisar verificar na equação original.
  • Para x=\dfrac{5}{4}: primeiro verifica-se a restrição x\ge \tfrac{1}{2}. Como \dfrac{5}{4}=1{,}25\ge \tfrac{1}{2}, está ok. Agora substituímos na equação original para confirmar:
\sqrt{\dfrac{5}{4}+1}=\sqrt{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{3}{2},
e
2\cdot\dfrac{5}{4}-1=\dfrac{10}{4}-1=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}.
Os dois lados coincidem, então x=\dfrac{5}{4} é de fato solução.
Comentário didático final: ao elevar ambos os lados ao quadrado é comum aparecerem raízes extranhas (como x=0 aqui), por isso é obrigatório verificar as soluções candidatas na equação original e respeitar as restrições de domínio.

Resposta

\displaystyle x=\dfrac{5}{4}

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