Resolva as equações.
\sqrt{4-x}+2=3 x

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação
\sqrt{4-x}+2=3x.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A presença da raiz quadrada \sqrt{4-x} exige que o radicando seja não negativo, isto é \,4-x\ge 0.
  • A raiz quadrada principal fornece sempre um valor não negativo: \sqrt{4-x}\ge 0.
  • Vamos buscar todos os x reais que satisfazem a equação original.

Passo 2

Determinar o domínio possível antes de manipular a equação:
  • Da condição \,4-x\ge 0 segue \,x\le 4.
  • Isolando a raiz na equação: \sqrt{4-x}=3x-2. Como a esquerda é \ge 0, é necessário que a direita também seja \ge 0. Assim
3x-2\ge 0 \quad\Rightarrow\quad x\ge \frac{2}{3}.
  • Combinando as duas restrições obtemos a faixa onde podem existir soluções:
\frac{2}{3}\le x\le 4.
Isso significa que qualquer candidato fora desse intervalo pode ser descartado sem cálculos adicionais.

Passo 3

Resolver a equação ao longo do intervalo possível. A partir de
\sqrt{4-x}=3x-2
procede-se a elevar ambos os lados ao quadrado (atenção: essa operação pode introduzir raízes extranhas, por isso será preciso conferir as soluções no final). Ao quadrar:
4-x=(3x-2)^2.
Expandindo o quadrado do lado direito:
(3x-2)^2=9x^2-12x+4.
Substituindo:
4-x=9x^2-12x+4.
Passar todos os termos para um lado e simplificar:
0=9x^2-12x+4-4+x = 9x^2-11x.
Fatorando:
9x^2-11x = x(9x-11)=0.
Portanto os candidatos são
x=0 \quad\text{ou}\quad x=\frac{11}{9}.

Passo 4

Verificar cada candidato na equação original (passo essencial porque o quadrado pode gerar soluções extranhas).
  • Para x=0:
\text{LHS}=\sqrt{4-0}+2=\sqrt{4}+2=2+2=4, \qquad \text{RHS}=3\cdot 0=0.
Como 4\neq 0, x=0 é solução extrana e deve ser descartada.
  • Para x=\dfrac{11}{9}:
    Calcular a esquerda:
\sqrt{4-\frac{11}{9}}=\sqrt{\frac{36-11}{9}}=\sqrt{\frac{25}{9}}=\frac{5}{3}.
Então
\text{LHS}=\frac{5}{3}+2=\frac{5}{3}+\frac{6}{3}=\frac{11}{3}.
A direita é
\text{RHS}=3\cdot\frac{11}{9}=\frac{33}{9}=\frac{11}{3}.
Como \text{LHS}=\text{RHS}, x=\dfrac{11}{9} satisfaz a equação e é solução válida.
Comentário didático rápido: ao elevar ambos os lados ao quadrado pode-se transformar uma equivalência em uma implicação mais frouxa, por isso sempre conferir; por exemplo a^2=b^2 não implica necessariamente a=b (pode ocorrer a=-b), e a raiz principal é não negativa, o que impõe restrições adicionais como fizemos no Passo 2.

Resposta

\dfrac{11}{9}

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