Resolva as equações.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para encontrar todos os valores de
que tornam essa igualdade verdadeira. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- Há uma raiz quadrada
, portanto a expressão dentro da raiz deve ser válida (não negativa). - A incógnita é
; a solução deve satisfazer a equação original.
Passo 2
Primeiro identifico a condição de existência da raiz: a expressão dentro da raiz tem de ser maior ou igual a zero. Logo:
Resolvo essa desigualdade:
Isso significa que qualquer candidato a solução precisa satisfazer
.
Passo 3
Isolo a raiz na equação para poder eliminar a raiz ao elevar ao quadrado. A equação dada é
Somando
em ambos os lados obtenho
Passo 4
Um detalhe importante: o lado esquerdo
é sempre não negativo (pois é a raiz principal). Portanto o lado direito também deve ser não negativo; isto impõe a restrição adicional
Combinando com a condição da raiz (
), o intervalo admissível fica mais forte:
É importante fazer essa observação antes de elevar ao quadrado, porque ao quadrar uma igualdade pode surgir soluções extranhas (quando o sinal do lado direito for negativo). Por isso restringimos já
a valores que tornam
não negativo.
Passo 5
Agora posso elevar ambos os lados da igualdade isolada ao quadrado, sem alterar o sinal (já que ambos são não negativos):
Isso simplifica para
Passo 6
Simplifico a equação quadrática. Subtraio
dos dois lados:
Portanto obtenho
Resolvo a equação quadrática:
Esses são candidatos que vieram ao quadrar; preciso agora verificar quais obedecem às restrições e, por fim, conferir na equação original (para eliminar possíveis soluções extranas).
Passo 7
Aplico a restrição que obtivemos em \
Passo 8
Faço a verificação final, substituindo
na equação original para garantir que realmente funciona:
que coincide com o lado direito
. Portanto
é de fato solução.
Passo 9
Resumo didático rápido sobre o método usado (dica para a prova): quando aparecer
,
- isole a raiz;
- imponha que o lado direito seja não negativo (pois
); - eleve ao quadrado para eliminar a raiz;
- resolva a equação resultante e, muito importante, verifique cada candidato na equação original para descartar raízes extranhas. Isso evita erro por conta do processo de quadratura.