Resolva as equações.
\sqrt{2 x+5}-1=x

Passo 1

O enunciado dá a equação
\sqrt{2x+5}-1=x
e pede para encontrar todos os valores de x que tornam essa igualdade verdadeira. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Há uma raiz quadrada \sqrt{2x+5}, portanto a expressão dentro da raiz deve ser válida (não negativa).
  • A incógnita é x; a solução deve satisfazer a equação original.

Passo 2

Primeiro identifico a condição de existência da raiz: a expressão dentro da raiz tem de ser maior ou igual a zero. Logo:
2x+5 \ge 0.
Resolvo essa desigualdade:
2x \ge -5 \quad\Rightarrow\quad x \ge -\tfrac{5}{2}.
Isso significa que qualquer candidato a solução precisa satisfazer \,x \ge -\tfrac{5}{2}.

Passo 3

Isolo a raiz na equação para poder eliminar a raiz ao elevar ao quadrado. A equação dada é
\sqrt{2x+5}-1=x.
Somando 1 em ambos os lados obtenho
\sqrt{2x+5} = x+1.

Passo 4

Um detalhe importante: o lado esquerdo \sqrt{2x+5} é sempre não negativo (pois é a raiz principal). Portanto o lado direito também deve ser não negativo; isto impõe a restrição adicional
x+1 \ge 0 \quad\Rightarrow\quad x \ge -1.
Combinando com a condição da raiz ( x \ge -\tfrac{5}{2}), o intervalo admissível fica mais forte:
x \ge -1.
É importante fazer essa observação antes de elevar ao quadrado, porque ao quadrar uma igualdade pode surgir soluções extranhas (quando o sinal do lado direito for negativo). Por isso restringimos já x a valores que tornam x+1 não negativo.

Passo 5

Agora posso elevar ambos os lados da igualdade isolada ao quadrado, sem alterar o sinal (já que ambos são não negativos):
\bigl(\sqrt{2x+5}\bigr)^2 = (x+1)^2.
Isso simplifica para
2x+5 = x^2 + 2x + 1.

Passo 6

Simplifico a equação quadrática. Subtraio 2x+5 dos dois lados:
0 = x^2 + 2x + 1 - (2x+5) = x^2 + 2x + 1 -2x -5 = x^2 -4.
Portanto obtenho
x^2 - 4 = 0.
Resolvo a equação quadrática:
x^2 = 4 \quad\Rightarrow\quad x = 2 \quad\text{ou}\quad x = -2.
Esses são candidatos que vieram ao quadrar; preciso agora verificar quais obedecem às restrições e, por fim, conferir na equação original (para eliminar possíveis soluções extranas).

Passo 7

Aplico a restrição que obtivemos em \

Passo 8

Faço a verificação final, substituindo x=2 na equação original para garantir que realmente funciona:
\sqrt{2\cdot 2 + 5} - 1 = \sqrt{9} - 1 = 3 - 1 = 2,
que coincide com o lado direito x=2. Portanto x=2 é de fato solução.

Passo 9

Resumo didático rápido sobre o método usado (dica para a prova): quando aparecer \sqrt{\cdot},
  • isole a raiz;
  • imponha que o lado direito seja não negativo (pois \sqrt{\cdot}\ge0);
  • eleve ao quadrado para eliminar a raiz;
  • resolva a equação resultante e, muito importante, verifique cada candidato na equação original para descartar raízes extranhas. Isso evita erro por conta do processo de quadratura.

Resposta

\,x=2

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