Resolva as equações.
\sqrt{4 x+5}-x=2 x+4

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação real
\sqrt{4x+5}-x=2x+4.
Informações dadas e o que se quer: encontrar todos os números reais x que satisfazem essa igualdade. Não há imagens nem dados adicionais.

Passo 2

Identificar o domínio da expressão que envolve raiz quadrada. A expressão \sqrt{4x+5} só está definida para o radicando não negativo, isto é,
4x+5\ge 0.
Resolvendo,
x\ge -\tfrac{5}{4}.
Portanto qualquer solução deve satisfazer x\ge -\tfrac{5}{4}. Além disso, note que o lado esquerdo contém \sqrt{4x+5} que é sempre não negativo, e ao isolarmos a raiz teremos que o lado direito deve ser também não negativo (essa observação será usada ao checar soluções).

Passo 3

Isolar a raiz para poder eliminar (por quadratura) a raiz:
\sqrt{4x+5}=2x+4+x=3x+4.
Antes de elevar ao quadrado, é bom lembrar que a quantidade à esquerda é \ge0, então o lado direito deve satisfazer 3x+4\ge0, o que equivale a
x\ge -\tfrac{4}{3}.
A condição combinada com o domínio original será verificada depois; por ora vamos prosseguir com a equação isolada.

Passo 4

Elevar os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz (ao fazer isso, podem aparecer raízes extranhas, por isso é obrigatório checar as soluções obtidas):
\bigl(\sqrt{4x+5}\bigr)^2=(3x+4)^2.
Isso dá
4x+5=9x^2+24x+16.

Passo 5

Passar tudo para um lado para obter uma equação quadrática padrão:
0=9x^2+24x+16-(4x+5)=9x^2+(24x-4x)+(16-5).
Portanto
0=9x^2+20x+11.

Passo 6

Resolver a quadrática 9x^2+20x+11=0 usando a fórmula quadrática. Primeiro calcular o discriminante \Delta:
\Delta=b^2-4ac=20^2-4\cdot9\cdot11=400-396=4.
Como \Delta=4, a raiz quadrada do discriminante é \sqrt{\Delta}=2. Assim as raízes são
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-20\pm2}{2\cdot9}=\frac{-20\pm2}{18}.
Calculando cada uma:
x_1=\frac{-20+2}{18}=\frac{-18}{18}=-1,
x_2=\frac{-20-2}{18}=\frac{-22}{18}=-\tfrac{11}{9}.

Passo 7

Agora é preciso checar as raízes encontradas na equação original para eliminar possíveis extranos introduzidos pela quadratura.
Verificação para x=-1:
Calcular \sqrt{4x+5}-x:
\sqrt{4(-1)+5}-(-1)=\sqrt{1}+1=1+1=2.
Calcular 2x+4:
2(-1)+4= -2+4=2.
Como os dois lados coincidem ( 2=2), x=-1 é solução válida. Observe também que x=-1 satisfaz o domínio x\ge -\tfrac{5}{4} e a condição 3x+4\ge0.
Verificação para x=-\tfrac{11}{9}:
Calcular 4x+5:
4\bigl(-\tfrac{11}{9}\bigr)+5=-\tfrac{44}{9}+\tfrac{45}{9}=\tfrac{1}{9},
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\sqrt{4x+5}=\sqrt{\tfrac{1}{9}}=\tfrac{1}{3}.
Calcular \sqrt{4x+5}-x:
\tfrac{1}{3}-\bigl(-\tfrac{11}{9}\bigr)=\tfrac{1}{3}+\tfrac{11}{9}=\tfrac{3}{9}+\tfrac{11}{9}=\tfrac{14}{9}.
Calcular 2x+4:
2\bigl(-\tfrac{11}{9}\bigr)+4=-\tfrac{22}{9}+\tfrac{36}{9}=\tfrac{14}{9}.
Os dois lados coincidem ( \tfrac{14}{9}=\tfrac{14}{9}), logo x=-\tfrac{11}{9} também é solução válida. E essa raiz também satisfaz x\ge -\tfrac{5}{4} e 3x+4\ge0.

Passo 8

Conclusão: ambas as raízes obtidas da quadrática são realmente soluções da equação original; não houve rejeição de nenhuma por serem extranas.

Resposta

-\tfrac{11}{9}
-1

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