Resolva as equações.
2 x+\sqrt{10-4 x}=1

Passo 1

O enunciado fornece a equação
2x+\sqrt{10-4x}=1
e pede para encontrar todas as soluções reais x que satisfazem essa igualdade. Informações relevantes que já vêm do enunciado:
  • Há uma raiz quadrada \sqrt{10-4x}, portanto o radicando precisa ser não negativo, o que impõe uma condição sobre x.
  • A equação envolve uma incógnita dentro e fora da raiz, então provavelmente precisaremos isolar a raiz e elevar ao quadrado (com cuidado para checar raízes extranhas).

Passo 2

Explicando a ideia que vamos usar (passo-a-passo e com cuidado didático):
  • Quando aparece \sqrt{\cdot} em uma equação, primeiro devemos garantir que o radicando é \ge 0 porque a raiz quadrada real não está definida para números negativos.
  • Para eliminar a raiz costuma-se isolar a expressão com a raiz e depois elevar ambos os lados ao quadrado. Importante: elevar ao quadrado pode introduzir soluções que não satisfazem a equação original (raízes extranhas), então todo candidato obtido depois de elevar ao quadrado precisa ser verificado na equação original.
    Vou aplicar exatamente isso: (i) determinar a condição de existência do radicando; (ii) isolar a raiz e elevar ao quadrado; (iii) resolver a equação resultante; (iv) verificar candidatos na equação original.

Passo 3

Condição de existência do radicando e condição de sinal ao isolar a raiz:
  • Do radicando \,10-4x\ge 0, obtemos
10-4x\ge 0 \quad\Rightarrow\quad -4x \ge -10 \quad\Rightarrow\quad x\le \frac{10}{4}=\frac{5}{2}.
  • Isolando a raiz na equação dada:
\sqrt{10-4x}=1-2x.
Como o lado esquerdo \sqrt{10-4x} é sempre não negativo, o lado direito também precisa ser não negativo. Assim
1-2x \ge 0 \quad\Rightarrow\quad x \le \frac{1}{2}.
Então, combinando com a condição do radicando, qualquer solução candidata deve satisfazer x\le \frac{1}{2} (essa é a condição prática que usaremos para aceitar soluções).

Passo 4

Eliminar a raiz: a partir de
\sqrt{10-4x}=1-2x,
vamos elevar ambos os lados ao quadrado. Antes de elevar, lembrando que já impusemos 1-2x\ge0, então o procedimento é válido. Elevando ao quadrado:
10-4x=(1-2x)^2.
Agora desenvolvemos o quadrado do binômio:
(1-2x)^2 = 1 - 4x + 4x^2.
Substituindo na igualdade obtemos a equação polinomial
10-4x = 1 - 4x + 4x^2.

Passo 5

Resolver a equação polinomial obtida. Subtraindo 10-4x dos dois lados (ou reorganizando os termos):
0 = 1 - 4x + 4x^2 - (10 - 4x) = 1 - 4x + 4x^2 -10 +4x = 4x^2 -9.
Assim chegamos a
4x^2 - 9 = 0.
Fatorando (ou resolvendo como quadrática):
4x^2-9=(2x-3)(2x+3)=0,
portanto os candidatos são
x=\frac{3}{2}\quad\text{ou}\quad x=-\frac{3}{2}.

Passo 6

Verificação dos candidatos na equação original (para eliminar raízes extranhas) e também checar a condição x\le \tfrac{1}{2} que encontramos:
  • Para x=\frac{3}{2}: o lado esquerdo da equação original é
2\cdot\frac{3}{2}+\sqrt{10-4\cdot\frac{3}{2}}=3+\sqrt{10-6}=3+\sqrt{4}=3+2=5,
que não é igual a 1. Além disso, x=\tfrac{3}{2} não satisfaz x\le \tfrac{1}{2}. Logo, x=\tfrac{3}{2} é extranho e deve ser rejeitado.
  • Para x=-\frac{3}{2}: o lado esquerdo da equação original é
2\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)+\sqrt{10-4\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)}=-3+\sqrt{10+6}=-3+\sqrt{16}=-3+4=1,
que coincide com o lado direito. Além disso, x=-\tfrac{3}{2}\le \tfrac{1}{2}, portanto respeita a condição do radicando e do sinal.

Resposta

x=-\dfrac{3}{2}

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