Resolva as equações.
Passo 1
O enunciado fornece a equação
e pede para encontrar todas as soluções reais
que satisfazem essa igualdade. Informações relevantes que já vêm do enunciado:
- Há uma raiz quadrada
, portanto o radicando precisa ser não negativo, o que impõe uma condição sobre . - A equação envolve uma incógnita dentro e fora da raiz, então provavelmente precisaremos isolar a raiz e elevar ao quadrado (com cuidado para checar raízes extranhas).
Passo 2
Explicando a ideia que vamos usar (passo-a-passo e com cuidado didático):
- Quando aparece
em uma equação, primeiro devemos garantir que o radicando é porque a raiz quadrada real não está definida para números negativos. - Para eliminar a raiz costuma-se isolar a expressão com a raiz e depois elevar ambos os lados ao quadrado. Importante: elevar ao quadrado pode introduzir soluções que não satisfazem a equação original (raízes extranhas), então todo candidato obtido depois de elevar ao quadrado precisa ser verificado na equação original.
Vou aplicar exatamente isso: (i) determinar a condição de existência do radicando; (ii) isolar a raiz e elevar ao quadrado; (iii) resolver a equação resultante; (iv) verificar candidatos na equação original.
Passo 3
Condição de existência do radicando e condição de sinal ao isolar a raiz:
- Do radicando
, obtemos
- Isolando a raiz na equação dada:
Como o lado esquerdo
é sempre não negativo, o lado direito também precisa ser não negativo. Assim
Então, combinando com a condição do radicando, qualquer solução candidata deve satisfazer
(essa é a condição prática que usaremos para aceitar soluções).
Passo 4
Eliminar a raiz: a partir de
vamos elevar ambos os lados ao quadrado. Antes de elevar, lembrando que já impusemos
, então o procedimento é válido. Elevando ao quadrado:
Agora desenvolvemos o quadrado do binômio:
Substituindo na igualdade obtemos a equação polinomial
Passo 5
Resolver a equação polinomial obtida. Subtraindo
dos dois lados (ou reorganizando os termos):
Assim chegamos a
Fatorando (ou resolvendo como quadrática):
portanto os candidatos são
Passo 6
Verificação dos candidatos na equação original (para eliminar raízes extranhas) e também checar a condição
que encontramos:
- Para
: o lado esquerdo da equação original é
que não é igual a
. Além disso,
não satisfaz
. Logo,
é extranho e deve ser rejeitado.
- Para
: o lado esquerdo da equação original é
que coincide com o lado direito. Além disso,
, portanto respeita a condição do radicando e do sinal.