Resolva as equações em varnothing:
z^2(1-z^2)=16

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação $ z^{2}(1 - z^{2}) = 16 $. Essa é uma equação algébrica envolvendo potências de $ z $. Para resolvê-la, vamos precisar usar conceitos de álgebra, como fatoração e resolução de equações polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Vamos multiplicar os termos dentro do parênteses:
z^2 times 1 - z^2 times z^2 = 16
z^2 - z^4 = 16

Passo 3

Agora, vamos reorganizar os termos para deixar a equação igual a zero, o que facilita a resolução:
-z^4 + z^2 - 16 = 0
Para simplificar os sinais, multiplicamos toda a equação por -1:
z^4 - z^2 + 16 = 0

Passo 4

Estamos diante de uma equação do quarto grau (grau quatro), que pode ser complicada de resolver diretamente. Para facilitar, vamos fazer uma substituição. Vamos chamar:
t = z^2
Substituindo na equação:
t^2 - t + 16 = 0

Passo 5

Agora, temos uma equação quadrática em termos de $ t $. Para resolver, usamos a fórmula de Bhaskara:
t
Onde $ a = 1 $, $ b = -1 $ e $ c = 16 $.
Substituindo:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
a = 1
b = -1

Passo 6

Aqui, temos a raiz quadrada de um número negativo, o que nos leva aos números complexos. Sabemos que $ \sqrt{-1} = i $, onde $ i $ é a unidade imaginária. Então:
raiz-1 = i
Portanto:
i

Passo 7

Lembrando que fizemos a substituição $ t = z^{2} $, temos:
t = z^2
Para encontrar $ z $, precisamos tirar a raiz quadrada de ambos os lados. Isso nos dá:
z^2 = 1 pm raiz63i2

Passo 8

As soluções para $ z $ são, portanto, números complexos que envolvem raízes quadradas de números imaginários. Essas soluções representam os valores de $ z $ que satisfazem a equação original.

Resposta

As soluções da equação são números complexos dados por:
z = pm raiz 1 pm raiz63i2

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