Resolva as equações em
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação $ z^{2}(1 - z^{2}) = 16 $. Essa é uma equação algébrica envolvendo potências de $ z $. Para resolvê-la, vamos precisar usar conceitos de álgebra, como fatoração e resolução de equações polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. Vamos multiplicar os termos dentro do parênteses:
Passo 3
Agora, vamos reorganizar os termos para deixar a equação igual a zero, o que facilita a resolução:
Para simplificar os sinais, multiplicamos toda a equação por -1:
Passo 4
Estamos diante de uma equação do quarto grau (grau quatro), que pode ser complicada de resolver diretamente. Para facilitar, vamos fazer uma substituição. Vamos chamar:
Substituindo na equação:
Passo 5
Agora, temos uma equação quadrática em termos de $ t $. Para resolver, usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde $ a = 1 $, $ b = -1 $ e $ c = 16 $.
Substituindo:
Passo 6
Aqui, temos a raiz quadrada de um número negativo, o que nos leva aos números complexos. Sabemos que $ \sqrt{-1} = i $, onde $ i $ é a unidade imaginária. Então:
Portanto:
Passo 7
Lembrando que fizemos a substituição $ t = z^{2} $, temos:
Para encontrar $ z $, precisamos tirar a raiz quadrada de ambos os lados. Isso nos dá:
Passo 8
As soluções para $ z $ são, portanto, números complexos que envolvem raízes quadradas de números imaginários. Essas soluções representam os valores de $ z $ que satisfazem a equação original.
Resposta
As soluções da equação são números complexos dados por: