Resolva as equações:
(1-x y)+\left(x y-x^{2}\right) y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial a resolver (procuramos y(x)):
(1-x y)+\left(x y-x^{2}\right) y^{\prime}=0.
O que se pede é encontrar a solução geral dessa equação, isto é, uma relação entre x e y que satisfaça a equação para todas as x no domínio da solução. Informação importante dada: a equação envolve x, y e y'=\dfrac{dy}{dx}. Não há figura nem condição inicial fornecida, então vamos buscar a solução geral (com constante arbitrária).

Passo 2

Reescrevemos a equação na forma diferencial total M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0. Multiplicando tudo por dx e usando y'=\dfrac{dy}{dx} obtemos:
(1-x y)\,dx + (x y - x^{2})\,dy = 0.
Assim definimos
M(x,y)=1-x y,\qquad N(x,y)=x y - x^{2}.

Passo 3

Vamos verificar se a forma é exata. Para isso calculamos as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y} = -x,\qquad \frac{\partial N}{\partial x} = y-2x.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}\neq\dfrac{\partial N}{\partial x} em geral, a equação não é exata na forma dada.

Passo 4

Procuramos um fator integrante \mu que dependa apenas de x, i.e. \mu=\mu(x). Uma condição prática é que
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}
deve depender apenas de x. Calculamos:
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N} =\frac{(-x)-(y-2x)}{x y - x^{2}} =\frac{x-y}{x(y-x)} =-\frac{1}{x}.
Isso depende só de x, ótimo — significa que existe um fator integrante \mu(x).

Passo 5

A função \mu(x) satisfaz
\frac{d}{dx}\big(\ln\mu(x)\big)=-\frac{1}{x}.
Integramos:
\ln\mu(x) = -\ln x + C \quad\Longrightarrow\quad \mu(x)=\frac{K}{x}.
Podemos escolher K=1 (constante multiplicativa não altera a família de soluções), portanto tomamos
\mu(x)=\frac{1}{x}.

Passo 6

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=\dfrac{1}{x}. Obtém-se:
\left(\frac{1}{x}-y\right)\,dx + (y-x)\,dy = 0.
Chamamos esses novos coeficientes de
\widetilde{M}(x,y)=\frac{1}{x}-y,\qquad \widetilde{N}(x,y)=y-x.

Passo 7

Verificamos exatidão da nova forma:
\frac{\partial \widetilde{M}}{\partial y}=-1,\qquad \frac{\partial \widetilde{N}}{\partial x}=-1,
portanto \dfrac{\partial \widetilde{M}}{\partial y}=\dfrac{\partial \widetilde{N}}{\partial x} e a equação é agora exata.

Passo 8

Por exatidão existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=\widetilde{M}=\frac{1}{x}-y,\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=\widetilde{N}=y-x.
Integramos \dfrac{\partial \Phi}{\partial x}=\dfrac{1}{x}-y em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int\left(\frac{1}{x}-y\right)\,dx = \ln x - x y + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 9

Agora impomos \dfrac{\partial \Phi}{\partial y}=\widetilde{N}=y-x. Calculamos \dfrac{\partial \Phi}{\partial y} a partir da expressão encontrada:
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = -x + h'(y).
Igualando a y-x obtemos
-x + h'(y) = y - x \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=y.
Integrando h'(y)=y h(y)=\dfrac{y^{2}}{2}+C.

Passo 10

Portanto a função potencial completa é
\Phi(x,y)=\ln x - x y + \frac{y^{2}}{2} + C.
A condição implícita solução é \Phi(x,y)=\text{const}. Eliminando a constante C em favor de uma constante arbitrária C_1 obtemos a solução implícita geral:
\ln x - x y + \frac{y^{2}}{2} = C_1.
Observação sobre domínio: durante o processo usamos \mu(x)=1/x, logo x\neq 0; além disso aparece \ln x, logo é natural tomar x>0 (se desejar x<0 pode-se usar \ln|x| e ajustar constante, mas o raciocínio original exigiu x\neq 0). Nota adicional: não existe solução que passe por x=0, pois substituindo x=0 na equação original dá 1=0, absurdo.

Passo 11

Se quiser uma expressão explícita para y, rearranjamos a solução implícita como quadrática em y:
\frac{1}{2}y^{2}-xy+\ln x - C_1 = 0,
que leva a
y = x \pm \sqrt{x^{2}-2\ln x + 2C_1},
com a condição de que o discriminante seja não negativo. Esta forma explícita corresponde às duas “ramificações” possíveis da solução implícita.

Resposta

\displaystyle \ln x - x y + \frac{y^{2}}{2} = C

Exercícios relacionados