Resolva as equações:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial a resolver (procuramos
):
O que se pede é encontrar a solução geral dessa equação, isto é, uma relação entre
e
que satisfaça a equação para todas as
no domínio da solução. Informação importante dada: a equação envolve
,
e
. Não há figura nem condição inicial fornecida, então vamos buscar a solução geral (com constante arbitrária).
Passo 2
Reescrevemos a equação na forma diferencial total
. Multiplicando tudo por
e usando
obtemos:
Assim definimos
Passo 3
Vamos verificar se a forma é exata. Para isso calculamos as derivadas parciais
Como
em geral, a equação não é exata na forma dada.
Passo 4
Procuramos um fator integrante
que dependa apenas de
, i.e.
. Uma condição prática é que
deve depender apenas de
. Calculamos:
Isso depende só de
, ótimo — significa que existe um fator integrante
.
Passo 5
A função
satisfaz
Integramos:
Podemos escolher
(constante multiplicativa não altera a família de soluções), portanto tomamos
Passo 6
Multiplicamos a equação original por
. Obtém-se:
Chamamos esses novos coeficientes de
Passo 7
Verificamos exatidão da nova forma:
portanto
e a equação é agora exata.
Passo 8
Por exatidão existe uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Passo 9
Agora impomos
. Calculamos
a partir da expressão encontrada:
Igualando a
obtemos
Integrando
dá
.
Passo 10
Portanto a função potencial completa é
A condição implícita solução é
. Eliminando a constante
em favor de uma constante arbitrária
obtemos a solução implícita geral:
Observação sobre domínio: durante o processo usamos
, logo
; além disso aparece
, logo é natural tomar
(se desejar
pode-se usar
e ajustar constante, mas o raciocínio original exigiu
). Nota adicional: não existe solução que passe por
, pois substituindo
na equação original dá
, absurdo.
Passo 11
Se quiser uma expressão explícita para
, rearranjamos a solução implícita como quadrática em
:
que leva a
com a condição de que o discriminante seja não negativo. Esta forma explícita corresponde às duas “ramificações” possíveis da solução implícita.