Resolva as equações:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para resolver a equação diferencial
. Então, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da parte homogênea (quando o lado direito é zero) e uma solução particular que resolve a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos tratar da parte homogênea da equação, ou seja,
. Para resolver essa parte, criamos a equação característica associada, que é obtida substituindo
por
,
por
e
por 1:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática. Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Aqui, vamos fatorar:
Então, as raízes são
e
.
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é dada por:
Onde
e
são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa
. Observando o lado direito, vemos que ele é da forma
. Notamos que
já faz parte da solução homogênea, então precisamos multiplicar por
para encontrar uma solução particular que não conflite com a homogênea. Assim, assumimos:
Onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 7
Substituímos
,
e
na equação original:
Passo 8
Vamos simplificar os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Isso nos dá
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: