Resolva as equações: e y'' - 7 y' + 12 y = -e^(4 x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para resolver a equação diferencial . Então, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da parte homogênea (quando o lado direito é zero) e uma solução particular que resolve a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos tratar da parte homogênea da equação, ou seja, . Para resolver essa parte, criamos a equação característica associada, que é obtida substituindo por , por e por 1:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática. Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Aqui, vamos fatorar:
Então, as raízes são e .

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é dada por:
Onde e são constantes arbitrárias que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Observando o lado direito, vemos que ele é da forma . Notamos que já faz parte da solução homogênea, então precisamos multiplicar por para encontrar uma solução particular que não conflite com a homogênea. Assim, assumimos:
Onde é uma constante a ser determinada.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 7

Substituímos , e na equação original:

Passo 8

Vamos simplificar os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Isso nos dá .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados