Use o teorema da convolução para encontrar f(t).
L^{-1}(1/(s+1)^{2}).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que usar o teorema da convolução para achar , que é a transformada inversa de Laplace de . Ou seja, queremos encontrar:
Vamos precisar entender o que é o teorema da convolução e como aplicá-lo para resolver essa transformada inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o que é o teorema da convolução. Na transformada de Laplace, o teorema da convolução nos diz que se temos duas funções e que são transformadas de e respectivamente, então a transformada de Laplace do produto dessas funções é a convolução das funções no domínio do tempo:
E a convolução é definida como:

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao nosso problema. Queremos encontrar . Podemos reescrever como o produto de duas frações iguais:
Isso significa que podemos considerar .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar as transformadas inversas de e . Sabemos que:
Então, e .

Passo 5

Com e encontrados, aplicamos a definição da convolução:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Resposta

Então, a transformada inversa de Laplace de é:

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