Resolva as equaçôos dada, usando uma substituiçăo adequada.
x y^{\prime \prime}=y^{\prime}+\left(y^{\prime}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem
x\,y'' = y' + \bigl(y'\bigr)^{3}
e pede para resolver usando uma substituição adequada. Aqui o conteúdo é redução de ordem em equações não explícitas em y, aplicando a mudança de variável
p(x) = y'(x),
convertendo a equação em uma de primeira ordem em p.

Passo 2

Fazendo p = y' e y'' = \tfrac{dp}{dx}, substituímos na equação original:
x\,\frac{dp}{dx} = p + p^{3}.
Isso é uma equação separável em p e x. Podemos reescrever como
\frac{dp}{p\,(1+p^{2})} = \frac{dx}{x}.

Passo 3

Para integrar o lado esquerdo, decompomos em frações parciais:
\frac{1}{p\,(1+p^{2})} = \frac{1}{p} - \frac{p}{1+p^{2}}.
Logo, integrando ambos os lados,
\int\Bigl(\frac{1}{p} - \frac{p}{1+p^{2}}\Bigr)\,dp = \int\frac{dx}{x} \;\Longrightarrow\; \ln\lvert p\rvert - \tfrac{1}{2}\ln\bigl(1+p^{2}\bigr) = \ln\lvert x\rvert + C_{1}.

Passo 4

Podemos reunir os logaritmos:
\ln\frac{\lvert p\rvert}{\sqrt{1+p^{2}}} = \ln\bigl(\lvert x\rvert\,e^{C_{1}}\bigr) = \ln\lvert C\,x\rvert,
onde C = e^{C_{1}}. Exponenciando,
\frac{p}{\sqrt{1+p^{2}}} = C\,x.
Elevando ao quadrado e resolvendo para p^{2}:
\frac{p^{2}}{1+p^{2}} = C^{2}x^{2} \quad\Longrightarrow\quad p^{2} = \frac{C^{2}x^{2}}{1 - C^{2}x^{2}} \;\Longrightarrow\; p = y' = \pm \frac{C\,x}{\sqrt{1 - C^{2}x^{2}}}.

Passo 5

Integramos y' = \pm C\,x/\sqrt{1 - C^{2}x^{2}}. Use a substituição u = 1 - C^{2}x^{2}, du = -2C^{2}x\,dx. Então
y = \pm C \int \frac{x}{\sqrt{1 - C^{2}x^{2}}}\,dx = \pm C\Bigl(-\frac{1}{C^{2}}\Bigr)\sqrt{1 - C^{2}x^{2}} + C_{2} = \mp\frac{\sqrt{1 - C^{2}x^{2}}}{C} + C_{2}.

Resposta

A solução geral da equação é
y(x) = C_{2} \mp \frac{1}{C}\,\sqrt{1 - C^{2}x^{2}},
onde C\neq 0 e C_{2} são constantes de integração.

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