Resolva:
\frac{d y}{d x}=\frac{1+y^{2}}{x}, x>0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=\frac{1+y^{2}}{x},\qquad x>0,
e pede encontrar a solução geral y(x). Informações relevantes: o lado direito é uma função que depende separadamente de x e de y; o domínio imposto é x>0 (isso vai permitir simplificar \ln|x| para \ln x). Não há condição inicial fornecida, então queremos a família geral de soluções.

Passo 2

Detectamos que a equação é separável: podemos escrever todas as partes que dependem de y de um lado e as partes que dependem de x do outro. Como 1+y^{2}>0 para todo y real e x>0, podemos dividir sem problema. Fazemos a separação das variáveis:
\frac{d y}{d x}=\frac{1+y^{2}}{x}\quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{1+y^{2}}\,\frac{d y}{d x}=\frac{1}{x}.
Agora tratamos \frac{d y}{d x} como razão e reescrevemos em forma de diferenciais:
\frac{d y}{1+y^{2}}=\frac{d x}{x}.
Explicação didática rápida: “separável” significa que a derivada pode ser rearranjada para ter uma função só de y multiplicando d y e uma função só de x multiplicando d x; aí integramos cada lado.

Passo 3

Integramos ambos os lados. Precisamos lembrar duas integrais básicas:
a) \displaystyle \int \frac{d y}{1+y^{2}}=\arctan(y)+C, porque \frac{d}{d y}\big(\arctan y\big)=\frac{1}{1+y^{2}}.
b) \displaystyle \int \frac{d x}{x}=\ln|x|+C. Como o domínio é x>0, temos \ln|x|=\ln x.
Aplicando as integrais:
\int \frac{d y}{1+y^{2}}=\int \frac{d x}{x} \quad\Longrightarrow\quad \arctan(y)=\ln x + C,
onde C é a constante de integração (única constante resultante após combinar as constantes dos dois lados).

Passo 4

Agora isolamos y. Aplicamos a função tangente (inversa da arctangente) em ambos os lados:
y=\tan\big(\arctan(y)\big)=\tan(\ln x + C).
Portanto a solução geral é
y(x)=\tan(\ln x + C),
com C\in\mathbb{R}. Observações úteis para a prova: como \tan tem assíntotas onde seu argumento vale \frac{\pi}{2}+k\pi, a solução está bem definida para os x tais que \ln x + C \neq \frac{\pi}{2}+k\pi. Também não existem soluções constantes reais, pois \frac{1+y^{2}}{x}=0 não ocorre para y\in\mathbb{R}.

Passo 5

Verificação rápida (sempre bom mostrar na prova): derivando y(x)=\tan(\ln x + C),
\frac{d y}{d x}=\operatorname{sec}^{2}(\ln x + C)\cdot\frac{d}{d x}(\ln x + C)=\frac{1}{x}\operatorname{sec}^{2}(\ln x + C).
Como \operatorname{sec}^{2}(\theta)=1+\tan^{2}(\theta) e \tan(\ln x + C)=y, obtemos
\frac{d y}{d x}=\frac{1}{x}\big(1+y^{2}\big),
que coincide com a equação dada, confirmando que a solução está correta.

Resposta

y(x)=\tan(\ln x + C),\quad C\in\mathbb{R}

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