Resolva:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede encontrar a solução geral
. Informações relevantes: o lado direito é uma função que depende separadamente de
e de
; o domínio imposto é
(isso vai permitir simplificar
para
). Não há condição inicial fornecida, então queremos a família geral de soluções.
Passo 2
Detectamos que a equação é separável: podemos escrever todas as partes que dependem de
de um lado e as partes que dependem de
do outro. Como
para todo
real e
, podemos dividir sem problema. Fazemos a separação das variáveis:
Agora tratamos
como razão e reescrevemos em forma de diferenciais:
Explicação didática rápida: “separável” significa que a derivada pode ser rearranjada para ter uma função só de
multiplicando
e uma função só de
multiplicando
; aí integramos cada lado.
Passo 3
Integramos ambos os lados. Precisamos lembrar duas integrais básicas:
a) , porque
.
b) . Como o domínio é
, temos
.
a)
b)
Aplicando as integrais:
onde
é a constante de integração (única constante resultante após combinar as constantes dos dois lados).
Passo 4
Agora isolamos
. Aplicamos a função tangente (inversa da arctangente) em ambos os lados:
Portanto a solução geral é
com
. Observações úteis para a prova: como
tem assíntotas onde seu argumento vale
, a solução está bem definida para os
tais que
. Também não existem soluções constantes reais, pois
não ocorre para
.
Passo 5
Verificação rápida (sempre bom mostrar na prova): derivando
,
Como
e
, obtemos
que coincide com a equação dada, confirmando que a solução está correta.