O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{d v}{d t}=v^{2}-v.
Informações dadas:
\text{equação: }\frac{d v}{d t}=v^{2}-v.
A incógnita é a função v(t). Não há condição inicial fornecida, portanto queremos a solução geral (família de soluções) e devemos lembrar de possíveis soluções constantes (equilíbrios).
Passo 2
Observação sobre divisões e soluções constantes (importante antes de separar variáveis).
A direita pode ser fatorada:
v^{2}-v = v(v-1).
Se v(t) for identicamente 0 ou identicamente 1, então \frac{d v}{d t}=0 e a equação fica satisfeita. Logo v(t)=0 e v(t)=1 são soluções constantes (equilíbrios). Ao separar variáveis dividindo por v(v-1) estaremos implicitamente assumindo v\not\equiv0 e v\not\equiv1, então trataremos as constantes separadamente.
Passo 3
Separação de variáveis (para v que não é identicamente 0 nem 1).
Reescrevemos a equação como
\frac{1}{v(v-1)}\,\frac{d v}{d t}=1,
e então separamos v e t:
\frac{d v}{v(v-1)} = d t.
Passo 4
Decomposição em frações parciais (para integrar a esquerda).
Procuramos constantes A,B tais que
\frac{1}{v(v-1)}=\frac{A}{v}+\frac{B}{v-1}.
Multiplicando por v(v-1) obtemos
1 = A(v-1)+Bv = (A+B)v - A.
Comparando coeficientes:
A+B = 0,\qquad -A = 1 \implies A=-1,\; B=1.
Portanto
\frac{1}{v(v-1)} = -\frac{1}{v} + \frac{1}{v-1}.
Passo 5
Integramos ambos os lados.
\int\left(-\frac{1}{v}+\frac{1}{v-1}\right)\,d v = \int 1\,d t.
As integrais são logaritmos:
-\ln|v| + \ln|v-1| = t + C,
onde C é constante de integração. Usando propriedades dos logaritmos,
\ln\left|\frac{v-1}{v}\right| = t + C.
Passo 6
Isolamento de v (exponenciação e resolução algébrica).
Exponenciando ambos os lados:
\left|\frac{v-1}{v}\right| = e^{t+C} = K e^{t},
com K>0. Absorvemos o sinal (podemos permitir D\in\mathbb{R} arbitrário, diferente de zero) escrevendo
\frac{v-1}{v} = D e^{t},
onde D é uma constante real arbitrária. Agora resolvemos para v:
v - v D e^{t} = 1 \quad\Longrightarrow\quad v(1 - D e^{t}) = 1.
Assim, para 1 - D e^{t}\neq 0,
v(t) = \frac{1}{1 - D e^{t}}.
Passo 7
Relacionamento com as soluções constantes e domínio.
A solução constante v(t)=1 corresponde a D=0 na forma acima.
A solução constante v(t)=0 não aparece na forma obtida porque dividimos por v ao separar variáveis; portanto deve ser listada separadamente.
Há tempos t onde 1 - D e^{t}=0, nesses tempos a solução da forma racional tem uma singularidade (explosão em tempo finito). Isso é um comportamento típico: para certos D a solução “blow-up” ocorre.
Passo 8
Como obter a constante D a partir de uma condição inicial v(0)=v_0 (caso precise aplicar na prova).
Partindo de