Resolva:
\frac{d y}{d x}=y^{2}

Passo 1

Enunciado: resolver a equação diferencial \dfrac{d y}{d x}=y^{2}.
O que o problema pede: encontrar todas as funções y(x) que satisfazem a igualdade dada para todas x em algum intervalo.
Informações dadas: a relação entre a derivada de y e y é \dfrac{d y}{d x}=y^{2}. Não foi dado nenhum valor inicial, então devemos apresentar a solução geral (todas as soluções possíveis).

Passo 2

Escolha do método (explicação didática): olha, essa equação é do tipo em que a derivada \dfrac{d y}{d x} é uma função só de y (não depende explicitamente de x). Nessas situações um método natural é o de separação de variáveis: a ideia é “separar” todos os termos que contêm y num lado da igualdade e todos os termos que contêm x no outro, para então integrar ambos os lados. Não existe uma exigência no enunciado de usar outro método, e separar é simples e eficiente aqui.

Passo 3

Separando variáveis (mostrando cada passo): a equação é
\frac{d y}{d x}=y^{2}.
Se y não for identicamente zero, podemos escrever essa derivada como diferencial e separar:
\frac{d y}{y^{2}}=d x.
Explicando: d y é um pequeno incremento de y e d x é um pequeno incremento de x; a igualdade \dfrac{d y}{d x}=y^{2} é equivalente a \dfrac{d y}{y^{2}}=d x. Aqui isolamos todos os fatores com y do lado esquerdo e x do direito.

Passo 4

Integração de ambos os lados (com explicação das integrais): agora integramos os dois lados em relação às suas variáveis:
\int \frac{d y}{y^{2}}=\int d x.
Precisamos lembrar a fórmula básica: para n\neq -1,
\int y^{n}\,d y=\frac{y^{n+1}}{n+1}+C.
No nosso caso \dfrac{1}{y^{2}}=y^{-2}, então n=-2 e
\int y^{-2}\,d y=\frac{y^{-1}}{-1}+C=-\frac{1}{y}+C.
No lado direito \int d x = x + C. Juntando (usando uma única constante de integração):
-\frac{1}{y}=x+C,
onde C é uma constante real arbitrária.

Passo 5

Isolando y (álgebra passo a passo): a partir de
-\frac{1}{y}=x+C
multiplicamos por -1:
\frac{1}{y}=-x-C.
Agora tomamos recíproco (lembrando que isso só faz sentido quando y\neq 0):
y=\frac{1}{-x-C}=-\frac{1}{x+C}.
Portanto obtemos a família de soluções
y(x)=-\frac{1}{x+C},
com C\in\mathbb{R}. Deve-se notar que essa expressão não está definida em x=-C (há uma singularidade onde a solução “explode”).

Passo 6

Solução constante especial y\equiv 0 (por que aparece): ao separar dividimos por y^{2}, então perdemos a possibilidade de y=0 durante a divisão. Temos sempre que verificar soluções constantes que possam ter sido excluídas por divisões. Se y(x)\equiv 0, então \dfrac{d y}{d x}=0 e y^{2}=0, então a equação é satisfeita. Logo
y(x)=0
é também uma solução válida (é chamada solução constante ou solução trivial).

Passo 7

Como aplicar uma condição inicial (exemplo prático e observações): se fosse dado y(x_{0})=y_{0} com y_{0}\neq 0, encontramos C resolvendo
-\frac{1}{y_{0}}=x_{0}+C \quad\Rightarrow\quad C=-\frac{1}{y_{0}}-x_{0}.
Por exemplo, para y(0)=2 temos C=-\tfrac{1}{2} e
y(x)=-\frac{1}{x-\tfrac{1}{2}}=\frac{2}{1-2x}.
Repare que essas soluções têm comportamento de “explodir” (tendem a infinito) quando x se aproxima de -C; isso é típico de equações do tipo \dfrac{d y}{d x}=y^{2}.

Passo 8

Resumo final e domínio: todas as soluções são a solução constante y\equiv 0 e a família y(x)=-\dfrac{1}{x+C} com C\in\mathbb{R}. Para cada valor de C a solução está definida em intervalos que não contêm x=-C, pois aí ocorreria divisão por zero.

Resposta

y(x)=0
y(x)=-\dfrac{1}{x+C},\quad C\in\mathbb{R},\\ x\neq -C

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