Resolva:
Passo 1
Enunciado: resolver a equação diferencial
.
O que o problema pede: encontrar todas as funções
que satisfazem a igualdade dada para todas
em algum intervalo.
Informações dadas: a relação entre a derivada de
e
é
. Não foi dado nenhum valor inicial, então devemos apresentar a solução geral (todas as soluções possíveis).
Passo 2
Escolha do método (explicação didática): olha, essa equação é do tipo em que a derivada
é uma função só de
(não depende explicitamente de
). Nessas situações um método natural é o de separação de variáveis: a ideia é “separar” todos os termos que contêm
num lado da igualdade e todos os termos que contêm
no outro, para então integrar ambos os lados. Não existe uma exigência no enunciado de usar outro método, e separar é simples e eficiente aqui.
Passo 3
Separando variáveis (mostrando cada passo): a equação é
Se
não for identicamente zero, podemos escrever essa derivada como diferencial e separar:
Explicando:
é um pequeno incremento de
e
é um pequeno incremento de
; a igualdade
é equivalente a
. Aqui isolamos todos os fatores com
do lado esquerdo e
do direito.
Passo 4
Integração de ambos os lados (com explicação das integrais): agora integramos os dois lados em relação às suas variáveis:
Precisamos lembrar a fórmula básica: para
,
No nosso caso
, então
e
No lado direito
. Juntando (usando uma única constante de integração):
onde
é uma constante real arbitrária.
Passo 5
Isolando
(álgebra passo a passo): a partir de
multiplicamos por
:
Agora tomamos recíproco (lembrando que isso só faz sentido quando
):
Portanto obtemos a família de soluções
com
. Deve-se notar que essa expressão não está definida em
(há uma singularidade onde a solução “explode”).
Passo 6
Solução constante especial
(por que aparece): ao separar dividimos por
, então perdemos a possibilidade de
durante a divisão. Temos sempre que verificar soluções constantes que possam ter sido excluídas por divisões. Se
, então
e
, então a equação é satisfeita. Logo
é também uma solução válida (é chamada solução constante ou solução trivial).
Passo 7
Como aplicar uma condição inicial (exemplo prático e observações): se fosse dado
com
, encontramos
resolvendo
Por exemplo, para
temos
e
Repare que essas soluções têm comportamento de “explodir” (tendem a infinito) quando
se aproxima de
; isso é típico de equações do tipo
.
Passo 8
Resumo final e domínio: todas as soluções são a solução constante
e a família
com
. Para cada valor de
a solução está definida em intervalos que não contêm
, pois aí ocorreria divisão por zero.