Resolva:
\frac{d y}{d x}=x^{2}+1

Passo 1

O enunciado dá a derivada de y em relação a x e pede a função y(x). Informações fornecidas:
  • Temos a equação diferencial \dfrac{d y}{d x}=x^{2}+1.
  • Não foi dada condição inicial, portanto a solução geral deverá conter uma constante arbitrária de integração.

Passo 2

Transformar a equação diferencial numa forma que a gente consiga integrar é a ideia principal. Aqui o lado direito depende só de x, então podemos escrever a equação diferencial de forma diferencial:
d y = (x^{2}+1)\,dx
Isto significa que pequenos incrementos em y são dados por (x^{2}+1) vezes pequenos incrementos em x. A estratégia será integrar ambos os lados em relação a x (ou, equivalentemente, integrar o lado esquerdo em relação a y e o direito em relação a x).

Passo 3

Vamos lembrar as regras básicas de integração que vamos usar:
  • A integral indefinida de uma soma é a soma das integrais:
\int (f(x)+g(x))\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx.
  • A regra potência: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração.
  • A integral de 1 é
\int 1\,dx = x + C.
Aqui C representa qualquer constante real; como vamos integrar os dois lados, colocamos apenas uma constante no final.

Passo 4

Aplicando a integração em ambos os lados da igualdade da Passo 2, temos
\int d y = \int (x^{2}+1)\,dx.
O lado esquerdo é simplesmente y (mais uma constante), e o direito se separa:
\int (x^{2}+1)\,dx = \int x^{2}\,dx + \int 1\,dx.

Passo 5

Agora calculamos cada integral usando as regras:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3},
pois aqui n=2 e \dfrac{x^{2+1}}{2+1}=\dfrac{x^{3}}{3}.
\int 1\,dx = x.
Somando e incluindo a constante de integração C, obtemos
y = \frac{x^{3}}{3} + x + C.

Passo 6

Verificação rápida (sempre boa prática na prova): derivamos a solução para checar se retorna à equação original. Diferenciando
y(x)=\frac{x^{3}}{3}+x+C
temos
\frac{d y}{d x}= \frac{d}{d x}\!\left(\frac{x^{3}}{3}\right) + \frac{d}{d x}(x) + \frac{d}{d x}\text{(C)} = x^{2}+1+0 = x^{2}+1,
que coincide com o enunciado. Perfeito.

Passo 7

Comentário sobre a constante C: como não foi dada condição inicial, a solução geral é toda a família
\displaystyle y=\frac{x^{3}}{3}+x+C, onde C\in\mathbb{R}.
Se você tivesse, por exemplo, a condição y(0)=2, substituía x=0 e y=2 para achar C:
2=\frac{0^{3}}{3}+0+C \Rightarrow C=2,
e a solução particular seria y=\dfrac{x^{3}}{3}+x+2.

Resposta

y=\frac{x^{3}}{3}+x+C

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