Resolva:
Passo 1
O enunciado dá a derivada de
em relação a
e pede a função
. Informações fornecidas:
- Temos a equação diferencial
. - Não foi dada condição inicial, portanto a solução geral deverá conter uma constante arbitrária de integração.
Passo 2
Transformar a equação diferencial numa forma que a gente consiga integrar é a ideia principal. Aqui o lado direito depende só de
, então podemos escrever a equação diferencial de forma diferencial:
Isto significa que pequenos incrementos em
são dados por
vezes pequenos incrementos em
. A estratégia será integrar ambos os lados em relação a
(ou, equivalentemente, integrar o lado esquerdo em relação a
e o direito em relação a
).
Passo 3
Vamos lembrar as regras básicas de integração que vamos usar:
- A integral indefinida de uma soma é a soma das integrais:
- A regra potência: para
,
onde
é a constante de integração.
- A integral de
é
Aqui
representa qualquer constante real; como vamos integrar os dois lados, colocamos apenas uma constante no final.
Passo 4
Aplicando a integração em ambos os lados da igualdade da Passo 2, temos
O lado esquerdo é simplesmente
(mais uma constante), e o direito se separa:
Passo 5
Agora calculamos cada integral usando as regras:
pois aqui
e
.
Somando e incluindo a constante de integração
, obtemos
Passo 6
Verificação rápida (sempre boa prática na prova): derivamos a solução para checar se retorna à equação original. Diferenciando
temos
que coincide com o enunciado. Perfeito.
Passo 7
Comentário sobre a constante
: como não foi dada condição inicial, a solução geral é toda a família
, onde
.
Se você tivesse, por exemplo, a condição , substituía
e
para achar
:
Se você tivesse, por exemplo, a condição
e a solução particular seria
.