Resolva geometricamente os PLs relativos às análises de atividades abaixo, sendo o bem 1 alimentos e o bem 2 vestuário. Diga quem são as restrições ativas e inativas no ponto de ótimo e encontre os preços-sombra dos fatores de produção trabalho (L), capital (K) e terra (T).
\left\{\begin{array}{cl}\max _{x_{1}, x_{2}} & Y\left(x_{1}, x_{2}\right)=3 x_{1}+4 x_{2} \\\ \text { s.a. } & x_{1}+3 x_{2} \leq 27(\mathrm{~L}) \\\ & x_{1}+x_{2} \leq 10(\mathrm{~K}) \\\ & 2 x_{1}+x_{2} \leq 16(\mathrm{~T}) \\\ & x_{1} \geq 0, x_{2} \geq 0 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o seguinte problema de otimização (bem 1 = alimentos, bem 2 = vestuário):
\begin{array}{rl} \max_{x_{1},x_{2}} & Y(x_{1},x_{2})=3x_{1}+4x_{2}\\[4pt] \text{s.a.} & x_{1}+3x_{2}\le 27\quad(\text{L})\\[2pt] & x_{1}+x_{2}\le 10\quad(\text{K})\\[2pt] & 2x_{1}+x_{2}\le 16\quad(\text{T})\\[2pt] & x_{1}\ge 0,\; x_{2}\ge 0. \end{array}
O que nos pedem:
  • Determinar geometricamente o ponto ótimo (x_{1},x_{2}) (máximo do lucro/produção).
  • Dizer quais restrições são ativas (binding) e quais são inativas no ponto ótimo.
  • Encontrar os preços-sombra (multiplicadores/valores marginais) dos fatores L, K e T.]

Passo 2

Estratégia geométrica e ideia prática (explicação didática curta): para um problema linear com duas variáveis, a região factível é um polígono convexo no plano (x_{1},x_{2}). O máximo de uma função linear sobre esse polígono ocorre em algum vértice (alguma interseção de restrições). Logo vamos:
  1. Encontrar os vértices candidatos (interseções das retas formadas pelas restrições e interseções com eixos).
  2. Verificar quais desses vértices satisfazem todas as desigualdades (são factíveis).
  3. Avaliar Y=3x_{1}+4x_{2} em cada vértice factível e escolher o maior.
    Depois, para preços-sombra: se no ponto ótimo duas restrições são ativas, os multiplicadores \lambda correspondentes podem ser obtidos resolvendo
(3,4)=\lambda_{L}(1,3)+\lambda_{K}(1,1)+\lambda_{T}(2,1),
mas apenas as restrições ativas terão \lambda>0; as inativas terão \lambda=0. Vamos aplicar.

Passo 3

Encontrar interseções das retas associadas às restrições (resolver sistemas lineares):
Interseção L\) e \(K\): \[\begin{cases} x_{1}+3x_{2}=27\\[4pt] x_{1}+x_{2}=10 \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira:
( x_{1}+3x_{2} )-( x_{1}+x_{2}) =27-10 \Rightarrow 2x_{2}=17 \Rightarrow x_{2}=\tfrac{17}{2}=8,5.
Então x_{1}=10-x_{2}=10-8,5=1,5\]. Logo ponto \[\bigl(1,5;8,5\bigr).
Interseção K e T:
\begin{cases} x_{1}+x_{2}=10\\[4pt] 2x_{1}+x_{2}=16 \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda:
(2x_{1}+x_{2})-(x_{1}+x_{2})=16-10 \Rightarrow x_{1}=6,
então x_{2}=10-6=4\]. Ponto \[(6;4).
Interseção L e T:
\begin{cases} x_{1}+3x_{2}=27\\[4pt] 2x_{1}+x_{2}=16 \end{cases}
Multiplicando a segunda por 3\]: \(6x_{1}+3x_{2}=48. Subtraindo a primeira:
(6x_{1}+3x_{2})-(x_{1}+3x_{2})=48-27 \Rightarrow 5x_{1}=21 \Rightarrow x_{1}=\tfrac{21}{5}=4,2.
Então x_{2}=(16-2x_{1})=16-8,4=7,6. Ponto \bigl(4,2;7,6\bigr).
Interseções com eixos (por completude):
  • Com x_{1}=0: das restrições, a mais restritiva é 3x_{2}\le 27\Rightarrow x_{2}\le 9. Ponto (0;9).
  • Com x_{2}=0: limites são x_{1}\le 27,\;x_{1}\le 10,\;2x_{1}\le 16\Rightarrow x_{1}\le 8. Portanto ponto extremo relevante (8;0).]

Passo 4

Verificar factibilidade dos pontos e avaliar a função objetivo:
Lista de pontos candidatos e verificação rápida:
  • (0;9): testar todas as desigualdades:
    x_{1}+3x_{2}=0+27=27\le27,\quad x_{1}+x_{2}=9\le10,\quad 2x_{1}+x_{2}=9\le16.
    Factível. Valor
    Y=3\cdot0+4\cdot9=36.
  • (1,5;8,5) (interseção L\cap K): checar T:
    2x_{1}+x_{2}=2\cdot1,5+8,5=3+8,5=11,5\le16,
    logo é factível. Valor
    Y=3\cdot1,5+4\cdot8,5=4,5+34=38,5.
  • (6;4) (interseção K\cap T): checar L:
    x_{1}+3x_{2}=6+12=18\le27,
    factível. Valor
    Y=3\cdot6+4\cdot4=18+16=34.
  • (4,2;7,6) (interseção L\cap T): checar K:
    x_{1}+x_{2}=4,2+7,6=11,8>10,
    portanto não é factível (viola K). Descartar.
  • (8;0): checar
    x_{1}+3x_{2}=8\le27,\quad x_{1}+x_{2}=8\le10,\quad 2x_{1}+x_{2}=16=16.
    Factível. Valor
    Y=3\cdot8+4\cdot0=24.
Comparando os valores 36,\;38,5,\;34,\;24, o máximo é Y=38,5 no ponto \bigl(x_{1},x_{2}\bigr)=\bigl(1,5;8,5\bigr).

Passo 5

Determinar restrições ativas/inativas no ótimo:
No ponto ótimo \bigl(1,5;8,5\bigr):
  • Verificar L: x_{1}+3x_{2}=1,5+3\cdot8,5=1,5+25{,}5=27. Igualdade: L está ativa.
  • Verificar K: x_{1}+x_{2}=1,5+8,5=10. Igualdade: K está ativa.
  • Verificar T: 2x_{1}+x_{2}=3+8,5=11,5<16. Estrita: T está inativa (folga positiva).
  • As restrições x_{1}\ge0 e x_{2}\ge0 não são iguaisidades (os x são positivos), portanto inativas.
Resumo: as restrições ativas são L e K; inativas são T e as de não-negatividade.

Passo 6

Cálculo dos preços-sombra (interpretação e cálculo passo a passo):
Interpretação rápida: o preço-sombra (multiplicador dual) associado a uma restrição é quanto o valor ótimo da função objetivo aumenta se relaxarmos aquela restrição em uma unidade (mantendo as outras constantes), no ponto ótimo local — é o valor marginal do recurso.
Como só [L) e K estão ativas, procuramos \lambda_{L} e \lambda_{K} tais que o gradiente da função objetivo (os coeficientes) seja combinação linear das normals das restrições ativas:
  • vetor de coeficientes da função objetivo: (3,4),
  • normal de L: (1,3) (coeficientes de x_{1},x_{2} em L),
  • normal de K: (1,1).
Procuramos \lambda_{L},\lambda_{K}\ge0 com
(3,4)=\lambda_{L}(1,3)+\lambda_{K}(1,1).
Escrevendo coordenada a coordenada:
\begin{cases} 3=\lambda_{L}+\lambda_{K}\\[4pt] 4=3\lambda_{L}+\lambda_{K} \end{cases}
Subtrair a primeira da segunda:
4-3=(3\lambda_{L}+\lambda_{K})-(\lambda_{L}+\lambda_{K}) \Rightarrow 1=2\lambda_{L}\Rightarrow \lambda_{L}=\tfrac{1}{2}=0,5.
Então (\lambda_{K}=3-\lambda_{L}=3-0,5=2,5].
Para T (inativa), o preço-sombra é \lambda_{T}=0.
Verificação rápida (consistência dual): o valor dual 27\lambda_{L}+10\lambda_{K}+16\lambda_{T}=27\cdot0,5+10\cdot2,5+16\cdot0=13,5+25=38,5, que coincide com o valor primal ótimo Y^{*}=38,5. Tudo consistente.
Interpretação numérica:
  • \lambda_{L}=0,5: um aumento de 1 unidade no recurso L (trabalho) aumentaria o óptimo em 0,5 unidades de Y (aproximadamente).
  • \lambda_{K}=2,5: uma unidade extra de K (capital) aumentaria o óptimo em 2,5.
  • \lambda_{T}=0: terra não é escassa no ótimo; uma unidade extra não aumenta o objetivo marginalmente.]

Resposta

Ponto ótimo: x_{1}=1,5,\;x_{2}=8,5 com Y^{*}=38,5.
Restrições ativas: L e K. Restrições inativas: T e x_{1}\ge0,\;x_{2}\ge0.
Preços-sombra: \lambda_{L}=0,5,\;\lambda_{K}=2,5,\;\lambda_{T}=0.

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