Resolva geometricamente os PLs relativos às análises de atividades abaixo, sendo o bem 1 alimentos e o bem 2 vestuário. Diga quem são as restrições ativas e inativas no ponto de ótimo e encontre os preços-sombra dos fatores de produção trabalho (L), capital (K) e terra (T). \left\{\begin{array}{cl}\max _{x_{1}, x_{2}} & Y\left(x_{1}, x_{2}\right)=3 x_{1}+4 x_{2} \\\ \text { s.a. } & x_{1}+3 x_{2} \leq 27(\mathrm{~L}) \\\ & x_{1}+x_{2} \leq 10(\mathrm{~K}) \\\ & 2 x_{1}+x_{2} \leq 16(\mathrm{~T}) \\\ & x_{1} \geq 0, x_{2} \geq 0 .\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá o seguinte problema de otimização (bem 1 = alimentos, bem 2 = vestuário):
Determinar geometricamente o ponto ótimo (x_{1},x_{2}) (máximo do lucro/produção).
Dizer quais restrições são ativas (binding) e quais são inativas no ponto ótimo.
Encontrar os preços-sombra (multiplicadores/valores marginais) dos fatores L, K e T.]
Passo 2
Estratégia geométrica e ideia prática (explicação didática curta): para um problema linear com duas variáveis, a região factível é um polígono convexo no plano (x_{1},x_{2}). O máximo de uma função linear sobre esse polígono ocorre em algum vértice (alguma interseção de restrições). Logo vamos:
Encontrar os vértices candidatos (interseções das retas formadas pelas restrições e interseções com eixos).
Verificar quais desses vértices satisfazem todas as desigualdades (são factíveis).
Avaliar Y=3x_{1}+4x_{2} em cada vértice factível e escolher o maior.
Depois, para preços-sombra: se no ponto ótimo duas restrições são ativas, os multiplicadores \lambda correspondentes podem ser obtidos resolvendo
Comparando os valores 36,\;38,5,\;34,\;24, o máximo é Y=38,5 no ponto \bigl(x_{1},x_{2}\bigr)=\bigl(1,5;8,5\bigr).
Passo 5
Determinar restrições ativas/inativas no ótimo:
No ponto ótimo \bigl(1,5;8,5\bigr):
Verificar L: x_{1}+3x_{2}=1,5+3\cdot8,5=1,5+25{,}5=27. Igualdade: L está ativa.
Verificar K: x_{1}+x_{2}=1,5+8,5=10. Igualdade: K está ativa.
Verificar T: 2x_{1}+x_{2}=3+8,5=11,5<16. Estrita: T está inativa (folga positiva).
As restrições x_{1}\ge0 e x_{2}\ge0 não são iguaisidades (os x são positivos), portanto inativas.
Resumo: as restrições ativas são L e K; inativas são T e as de não-negatividade.
Passo 6
Cálculo dos preços-sombra (interpretação e cálculo passo a passo):
Interpretação rápida: o preço-sombra (multiplicador dual) associado a uma restrição é quanto o valor ótimo da função objetivo aumenta se relaxarmos aquela restrição em uma unidade (mantendo as outras constantes), no ponto ótimo local — é o valor marginal do recurso.
Como só [L) e K estão ativas, procuramos \lambda_{L} e \lambda_{K} tais que o gradiente da função objetivo (os coeficientes) seja combinação linear das normals das restrições ativas:
vetor de coeficientes da função objetivo: (3,4),
normal de L: (1,3) (coeficientes de x_{1},x_{2} em L),
Verificação rápida (consistência dual): o valor dual 27\lambda_{L}+10\lambda_{K}+16\lambda_{T}=27\cdot0,5+10\cdot2,5+16\cdot0=13,5+25=38,5, que coincide com o valor primal ótimo Y^{*}=38,5. Tudo consistente.
Interpretação numérica:
\lambda_{L}=0,5: um aumento de 1 unidade no recurso L (trabalho) aumentaria o óptimo em 0,5 unidades de Y (aproximadamente).
\lambda_{K}=2,5: uma unidade extra de K (capital) aumentaria o óptimo em 2,5.
\lambda_{T}=0: terra não é escassa no ótimo; uma unidade extra não aumenta o objetivo marginalmente.]
Resposta
Ponto ótimo: x_{1}=1,5,\;x_{2}=8,5 com Y^{*}=38,5.
Restrições ativas: L e K. Restrições inativas: T e x_{1}\ge0,\;x_{2}\ge0.
Preços-sombra: \lambda_{L}=0,5,\;\lambda_{K}=2,5,\;\lambda_{T}=0.