Q16: Seja
um conjunto de 3 vetores distintos de
. Sejam
. Considere as afirmativas abaixo:
I. Se
é LI, então
pode ser LD.
II. Se
, então
é uma base de
. III. Se
são coplanares, então
pode ser LI.
(A) Só III é verdadeira.
(B) Só II é verdadeira.
(C) Só I e II são verdadeiras.
(D) Só II e III são verdadeiras.
(E) Só I é verdadeira.
(F) Todas são falsas.
(G) Todas são verdadeiras.
(H) Só I e III são verdadeiras.
I. Se
II. Se
(A) Só III é verdadeira.
(B) Só II é verdadeira.
(C) Só I e II são verdadeiras.
(D) Só II e III são verdadeiras.
(E) Só I é verdadeira.
(F) Todas são falsas.
(G) Todas são verdadeiras.
(H) Só I e III são verdadeiras.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados:
-
é um conjunto de três vetores distintos em . -
, , .
-
- O enunciado apresenta três afirmativas que devemos classificar como verdadeiras ou falsas:
I. Seé linearmente independente (LI), então pode ser linearmente dependente (LD).
II. Se, então é uma base de .
III. Sesão coplanares, então pode ser LI.
O objetivo: decidir quais dessas afirmativas são verdadeiras e, portanto, escolher a alternativa correta.
Passo 2
Vou explicar conceitos importantes (devagar e com exemplos) para que tudo fique claro antes das verificações.
-
Definição de linearmente independente (LI) e linearmente dependente (LD):
- Um conjunto de vetores
é LI se a única solução do sistema é . - Se existir uma solução não trivial (algum
), o conjunto é LD. - Intuição: LI significa que nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros.
- Um conjunto de vetores
-
Definição de
: -
é o conjunto de todas as combinações lineares - Dizemos que
quando pode ser escrito como combinação linear desses vetores.
-
-
Base de
: - Uma base de
é um conjunto de exatamente três vetores LI em . Equivalente: conjunto que gera todo e é LI.
- Uma base de
-
Coplanaridade (no contexto de vetores em
): - Três vetores são coplanares se todos pertencem a um mesmo plano (quando colocados com origem comum, é um plano que passa pela origem).
- Isso significa que eles estão contidos em um subespaço de dimensão
, logo .
Breve comentário prático: em
três vetores são LI exatamente quando sua combinação linear nula só tem solução trivial; geometricamente, isso equivale a que os três não estejam todos num mesmo plano (i.e., gerem todo o espaço
).
Passo 3
Avaliação da afirmativa I: “Se
é LI, então
pode ser LD.”
- Lógica: a afirmativa diz apenas que é possível (pode ser) que
seja LD, não que sempre seja LD. - Construção de exemplo concreto (mostrando que é possível):
- Tome
Aqui é LI porque a equação implica e . - Escolha
Observa-se que , isto é, . - Portanto
é LD (há a relação com coeficientes não todos nulos).
- Tome
- Conclusão sobre I: como existe um exemplo com
LI e LD, a afirmativa “pode ser LD” é verdadeira. Logo I é verdadeira.
Passo 4
Avaliação da afirmativa II: “Se
, então
é uma base de
.”
- Primeiro raciocínio teórico: para que
seja base de é preciso que os três sejam LI (e, em , isso implica gerar todo ). - A hipótese
garante apenas que não é combinação linear de e . Mas isso não impede que e sejam dependentes entre si. - Contraexemplo concreto (mostrando que a implicação não é válida em geral):
- Tome
Aqui e são distintos, mas são linearmente dependentes (pois ). Então é a reta do eixo . - Escolha
Nota-se que (pois não é múltiplo de ). - Contudo
é LD porque já existe dependência entre e : por exemplo é uma combinação linear não trivial envolvendo apenas .
- Tome
- Observação importante (didática): se além de
houver a hipótese extra de que é LI, então sim os três seriam LI e formariam uma base. Mas o enunciado não deu essa hipótese extra. - Conclusão sobre II: a afirmação, do modo como está escrita, é falsa (existe contraexemplo). Logo II é falsa.
Passo 5
Avaliação da afirmativa III: “Se
são coplanares, então
pode ser LI.”
- Lembrete: vetores coplanares (com origem comum) em
pertencem a um subespaço de dimensão . Assim - Para que três vetores sejam LI em
é necessário que a dimensão do espaço gerado por eles seja . Mas coplanaridade impede isso (a dimensão máxima é ). - Portanto três vetores coplanares não podem ser LI; eles são necessariamente LD.
- Exemplo ilustrativo: com
todos estão no plano (são coplanares) e , logo o conjunto é LD. - Conclusão sobre III: a afirmativa “então
pode ser LI” é falsa — na verdade, se são coplanares, é necessariamente LD. Logo III é falsa.
Passo 6
Resumo dos resultados encontrados:
- I é verdadeira (existe exemplo com
LI e LD). - II é falsa (contraexemplo com
LD e ). - III é falsa (três vetores coplanares em
são sempre LD).
Resposta
(E) Só I é verdadeira.