Q16: Seja S=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} um conjunto de 3 vetores distintos de \mathbb{R}^{3}. Sejam A=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}\right\}, B=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{3}\right\}, C=\left\{\vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\}. Considere as afirmativas abaixo:
I. Se A é LI, então S pode ser LD.
II. Se \vec{v}_{3} \notin \operatorname{span}\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}\right\}, então \left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} é uma base de \mathbb{R}^{3}. III. Se \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3} são coplanares, então S pode ser LI.
(A) Só III é verdadeira.
(B) Só II é verdadeira.
(C) Só I e II são verdadeiras.
(D) Só II e III são verdadeiras.
(E) Só I é verdadeira.
(F) Todas são falsas.
(G) Todas são verdadeiras.
(H) Só I e III são verdadeiras.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados:
    • S=\left\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\right\} é um conjunto de três vetores distintos em \mathbb{R}^{3}.
    • A=\left\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\right\}, B=\left\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{3}\right\}, C=\left\{\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\right\}.
  • O enunciado apresenta três afirmativas que devemos classificar como verdadeiras ou falsas:
    I. Se A é linearmente independente (LI), então S pode ser linearmente dependente (LD).
    II. Se \vec{v}_{3}\notin\operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}, então \{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} é uma base de \mathbb{R}^{3}.
    III. Se \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} são coplanares, então S pode ser LI.
O objetivo: decidir quais dessas afirmativas são verdadeiras e, portanto, escolher a alternativa correta.

Passo 2

Vou explicar conceitos importantes (devagar e com exemplos) para que tudo fique claro antes das verificações.
  • Definição de linearmente independente (LI) e linearmente dependente (LD):
    • Um conjunto de vetores \{\vec{w}_1,\dots,\vec{w}_k\} é LI se a única solução do sistema \alpha_1\vec{w}_1+\cdots+\alpha_k\vec{w}_k=\vec{0}é \alpha_1=\cdots=\alpha_k=0.
    • Se existir uma solução não trivial (algum \alpha_i\neq0), o conjunto é LD.
    • Intuição: LI significa que nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros.
  • Definição de \operatorname{span}:
    • \operatorname{span}\{\vec{w}_1,\dots,\vec{w}_k\} é o conjunto de todas as combinações lineares \{\beta_1\vec{w}_1+\cdots+\beta_k\vec{w}_k \mid \beta_i\in\mathbb{R}\}.
    • Dizemos que \vec{u}\in\operatorname{span}\{\vec{w}_1,\dots,\vec{w}_k\} quando \vec{u} pode ser escrito como combinação linear desses vetores.
  • Base de \mathbb{R}^{3}:
    • Uma base de \mathbb{R}^{3} é um conjunto de exatamente três vetores LI em \mathbb{R}^{3}. Equivalente: conjunto que gera todo \mathbb{R}^{3} e é LI.
  • Coplanaridade (no contexto de vetores em \mathbb{R}^{3}):
    • Três vetores são coplanares se todos pertencem a um mesmo plano (quando colocados com origem comum, é um plano que passa pela origem).
    • Isso significa que eles estão contidos em um subespaço de dimensão \le 2, logo \dim(\operatorname{span}\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\})\le 2.
Breve comentário prático: em \mathbb{R}^{3} três vetores são LI exatamente quando sua combinação linear nula só tem solução trivial; geometricamente, isso equivale a que os três não estejam todos num mesmo plano (i.e., gerem todo o espaço \mathbb{R}^{3}).

Passo 3

Avaliação da afirmativa I: “Se A é LI, então S pode ser LD.”
  • Lógica: a afirmativa diz apenas que é possível (pode ser) que S seja LD, não que sempre seja LD.
  • Construção de exemplo concreto (mostrando que é possível):
    • Tome \vec{v}_1=(1,0,0),\qquad \vec{v}_2=(0,1,0).Aqui A=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2\} é LI porque a equação \alpha\vec{v}_1+\beta\vec{v}_2=\vec{0} implica \alpha=0 e \beta=0.
    • Escolha \vec{v}_3=(1,1,0).Observa-se que \vec{v}_3=\vec{v}_1+\vec{v}_2, isto é, \vec{v}_3\in\operatorname{span}\{\vec{v}_1,\vec{v}_2\}.
    • Portanto \{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\} é LD (há a relação \vec{v}_3-\vec{v}_1-\vec{v}_2=\vec{0} com coeficientes não todos nulos).
  • Conclusão sobre I: como existe um exemplo com A LI e S LD, a afirmativa “pode ser LD” é verdadeira. Logo I é verdadeira.

Passo 4

Avaliação da afirmativa II: “Se \vec{v}_3\notin\operatorname{span}\{\vec{v}_1,\vec{v}_2\}, então \{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\} é uma base de \mathbb{R}^{3}.”
  • Primeiro raciocínio teórico: para que \{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\} seja base de \mathbb{R}^{3} é preciso que os três sejam LI (e, em \mathbb{R}^{3}, isso implica gerar todo \mathbb{R}^{3}).
  • A hipótese \vec{v}_3\notin\operatorname{span}\{\vec{v}_1,\vec{v}_2\} garante apenas que \vec{v}_3 não é combinação linear de \vec{v}_1 e \vec{v}_2. Mas isso não impede que \vec{v}_1 e \vec{v}_2 sejam dependentes entre si.
  • Contraexemplo concreto (mostrando que a implicação não é válida em geral):
    • Tome \vec{v}_1=(1,0,0),\qquad \vec{v}_2=(2,0,0).Aqui \vec{v}_1 e \vec{v}_2 são distintos, mas são linearmente dependentes (pois \vec{v}_2=2\vec{v}_1). Então \operatorname{span}\{\vec{v}_1,\vec{v}_2\}=\operatorname{span}\{\vec{v}_1\} é a reta do eixo x.
    • Escolha \vec{v}_3=(0,1,0).Nota-se que \vec{v}_3\notin\operatorname{span}\{\vec{v}_1,\vec{v}_2\} (pois não é múltiplo de (1,0,0)).
    • Contudo \{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\} é LD porque já existe dependência entre \vec{v}_1 e \vec{v}_2: por exemplo \vec{v}_2-2\vec{v}_1=\vec{0} é uma combinação linear não trivial envolvendo apenas \vec{v}_1,\vec{v}_2.
  • Observação importante (didática): se além de \vec{v}_3\notin\operatorname{span}\{\vec{v}_1,\vec{v}_2\} houver a hipótese extra de que A=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2\} é LI, então sim os três seriam LI e formariam uma base. Mas o enunciado não deu essa hipótese extra.
  • Conclusão sobre II: a afirmação, do modo como está escrita, é falsa (existe contraexemplo). Logo II é falsa.

Passo 5

Avaliação da afirmativa III: “Se \vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3 são coplanares, então S pode ser LI.”
  • Lembrete: vetores coplanares (com origem comum) em \mathbb{R}^{3} pertencem a um subespaço de dimensão \le 2. Assim \dim\big(\operatorname{span}\{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\}\big)\le 2.
  • Para que três vetores sejam LI em \mathbb{R}^{3} é necessário que a dimensão do espaço gerado por eles seja 3. Mas coplanaridade impede isso (a dimensão máxima é 2).
  • Portanto três vetores coplanares não podem ser LI; eles são necessariamente LD.
  • Exemplo ilustrativo: com \vec{v}_1=(1,0,0),\quad \vec{v}_2=(0,1,0),\quad \vec{v}_3=(1,1,0),todos estão no plano z=0 (são coplanares) e \vec{v}_3=\vec{v}_1+\vec{v}_2, logo o conjunto é LD.
  • Conclusão sobre III: a afirmativa “então S pode ser LI” é falsa — na verdade, se são coplanares, S é necessariamente LD. Logo III é falsa.

Passo 6

Resumo dos resultados encontrados:
  • I é verdadeira (existe exemplo com A LI e S LD).
  • II é falsa (contraexemplo com A LD e \vec{v}_3\notin\operatorname{span}\{\vec{v}_1,\vec{v}_2\}).
  • III é falsa (três vetores coplanares em \mathbb{R}^{3} são sempre LD).

Resposta

(E) Só I é verdadeira.

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