Resolva a inequação modular |x-2| \leq 3. Qual o intervalo da solução?
◯ a. x \geq-1
◯ b. -5 \leq x \leq 1
◯ c. x \leq 5
◯ d. -1 \leq x \leq 5

Passo 1

O enunciado dá a inequação modular
|x-2| \leq 3.
Pergunta: encontrar o intervalo de todos os valores de x que satisfazem essa inequação e escolher a alternativa correta entre as dadas.
Informações relevantes fornecidas:
  • O módulo está centrado em 2 (ou seja, a expressão é |x-2|).
  • O lado direito é 3.
  • Queremos todos os x tais que a distância entre x e 2 seja menor ou igual a 3.

Passo 2

Entender o significado do módulo: para qualquer número real y\), \[|y|=\begin{cases} y, & \text{se } y\ge 0,\\[4pt] -y, & \text{se } y<0. \end{cases}
Mas uma interpretação mais prática para inequações do tipo |x-a|\le r\] (com \(r\ge0) é: a distância entre x e a é no máximo r. Isso se traduz em uma desigualdade composta:
-a-r \le x-a \le r
aplicando aqui com a=2 e r=3. Vou usar a forma padrão que se aplica diretamente:]

Passo 3

Aplicando a transformação direta para |x-2|\le 3: a inequação é equivalente a
-3 \le x-2 \le 3.
Isto vem da ideia de que x-2 deve estar entre -3 e 3.

Passo 4

Agora isolar x em toda a desigualdade composta: somamos 2 aos três termos:
-3+2 \le x-2+2 \le 3+2.
Calculando cada soma,
-1 \le x \le 5.

Passo 5

Verificação rápida dos extremos para garantir que estão incluídos (porque a desigualdade é \le, não estrita):
  • Para x=-1: |-1-2|=|-3|=3, satisfaz \le 3.
  • Para x=5: |5-2|=|3|=3, satisfaz \le 3.
    Portanto os extremos fazem parte da solução.

Resposta

d. -1 \le x \le 5

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