Considere a função f(x)=\sqrt{x-3}. Qual é o domínio real desta função?
a. \{x \in R \mid x>3\}
b. \{x \in R \mid x \geq 3\}
c. \{x \in R \mid x \leq 3\}
d. Todos os números reais ®

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio real da função f(x)=\sqrt{x-3}. As opções fornecidas são:
a. \{x \in \mathbb{R} \mid x>3\}
b. \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 3\}
c. \{x \in \mathbb{R} \mid x \leq 3\}
d. Todos os números reais \mathbb{R}.
Informações relevantes dadas: a função é a raiz quadrada real de x-3, ou seja f(x)=\sqrt{x-3}.

Passo 2

Regra essencial para raiz quadrada real: a expressão dentro da raiz (o radicando) precisa ser maior ou igual a zero para que a raiz seja um número real. Em outras palavras, para que f(x) seja real deve valer
x-3 \geq 0.
Essa condição vem da definição da raiz quadrada real: \sqrt{y} está definida em \mathbb{R} somente para y \geq 0.

Passo 3

Agora resolvemos a desigualdade x-3 \geq 0 passo a passo. Soma-se 3 aos dois lados da desigualdade (operações que preservam o sinal da desigualdade):
x-3 \geq 0 \quad\Longrightarrow\quad x-3+3 \geq 0+3 \quad\Longrightarrow\quad x \geq 3.
Portanto toda x maior ou igual a 3 torna o radicando não negativo e faz f(x) bem definida como número real.

Passo 4

Verificação com exemplos práticos (para fixar a ideia):
  • Se x=3 então f(3)=\sqrt{3-3}=\sqrt{0}=0, que é bem definido — portanto o ponto x=3 deve estar no domínio.
  • Se x=4 então f(4)=\sqrt{4-3}=\sqrt{1}=1, também bem definido.
  • Se x=2 então f(2)=\sqrt{2-3}=\sqrt{-1}, que não é um número real; logo x=2 não pertence ao domínio.
Com isso, a opção que corresponde a x\geq 3 é a correta. Em notação de intervalo, o domínio é [3,\infty).

Passo 5

Comparação direta com as alternativas:
  • a. \{x \in \mathbb{R} \mid x>3\} exclui x=3 (incorreto, pois x=3 é permitido).
  • b. \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 3\} inclui x=3 e todos os x>3 (correto).
  • c. \{x \in \mathbb{R} \mid x \leq 3\} incluiria valores menores que 3 que tornam o radicando negativo (incorreto).
  • d. \mathbb{R} incluiria valores que tornam o radicando negativo (incorreto).

Resposta

b. \{x \in \mathbb{R} \mid x \geq 3\}

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