Resolva a inequação e represente o conjunto solução graficamente na reta real na forma de intervalo.
9 x^{2}+12 x-1 \geq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
9x^{2}+12x-1 \ge 0
usando a técnica de estudo de sinais de uma função quadrática. Vamos precisar calcular o discriminante para achar as raízes e depois analisar em quais intervalos a parábola está acima ou igual a zero.

Passo 2

Calculamos o discriminante \Delta da expressão 9x^{2}+12x-1:
\Delta = b^{2} - 4ac = 12^{2} - 4\cdot 9 \cdot (-1) = 144 + 36 = 180.

Passo 3

As raízes da equação 9x^{2}+12x-1=0 são
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-12 \pm \sqrt{180}}{2\cdot 9} = \frac{-12 \pm 6\sqrt{5}}{18} = -\frac{2}{3} \pm \frac{\sqrt{5}}{3}.
Logo definimos
x_{1} = -\frac{2}{3} - \frac{\sqrt{5}}{3}, \quad x_{2} = -\frac{2}{3} + \frac{\sqrt{5}}{3},
com x_{1}<x_{2}.

Passo 4

Como o coeficiente de x^{2} é a=9>0, a parábola abre para cima. Portanto a expressão 9x^{2}+12x-1 é:
\bullet positiva ou zero fora do intervalo (x_{1},x_{2}),
\bullet negativa entre x_{1} e x_{2}.
Como queremos 9x^{2}+12x-1\ge 0, aceitamos as regiões onde a função é positiva ou zero, ou seja,
(-\infty,x_{1}] \cup [x_{2},\infty).

Resposta

\boxed{ (-\infty,\,-\tfrac{2+\sqrt{5}}{3}] \;\cup\; [-\tfrac{2-\sqrt{5}}{3},\,\infty). }

Exercícios relacionados