Resolva as inequações.
Passo 1
O enunciado pede que se resolva a inequação
Informações dadas e observações iniciais:
- A desigualdade envolve frações com denominadores
e . - Devem ser excluídos do domínio os pontos onde algum denominador é zero:
e . - Objetivo: encontrar todos os valores de
(com ) que satisfazem a desigualdade.
Passo 2
Vamos passar tudo para um único membro, obtendo uma única fração racional cujo sinal podemos estudar. Subtraindo
dos dois lados:
Para somar/subtrair as frações, usemos o denominador comum
. Lembre que
pode ser escrito como
.
Passo 3
Escrevendo com denominador comum:
Agora somamos os numeradores (todos sobre
):
Calcule o numerador passo a passo:
Portanto a desigualdade fica
Passo 4
Fatore o numerador
. Procuramos dois números cujo produto seja
e soma
: são
e
. Assim
A expressão racional fica
Os pontos críticos (zeros do numerador e zeros do denominador) são:
- zeros do numerador:
e (aqui a fração vale , desde que o denominador seja diferente de zero), - zeros do denominador (pontos excluídos do domínio):
e .
Passo 5
Para resolver
fazemos a análise de sinais nos intervalos determinados pelos pontos críticos
.
Vamos verificar o sinal da expressão em cada intervalo escolhendo um valor-teste:
- Para
(ex.: ): sinais dos fatores negativo, negativo, negativo, negativo. Numerador: negativo·negativo = positivo. Denominador: negativo·negativo = positivo. Fração: positivo/positivo = positivo. - Para
(ex.: ): negativo, positivo, negativo, negativo. Numerador: negativo·positivo = negativo. Denominador: negativo·negativo = positivo. Fração: negativo/positivo = negativo. - Para
(ex.: ): negativo, positivo, negativo, positivo. Numerador: negativo·positivo = negativo. Denominador: negativo·positivo = negativo. Fração: negativo/negativo = positivo. - Para
(ex.: ): negativo, positivo, positivo, positivo. Numerador: negativo·positivo = negativo. Denominador: positivo·positivo = positivo. Fração: negativo/positivo = negativo. - Para
(ex.: ): todos os fatores são positivos → fração positiva.
Resumindo os sinais:
-
: positivo -
: negativo -
: positivo -
: negativo -
: positivo
Além disso, em
e
a expressão vale
(numerador zero e denominador não zero), enquanto
e
são pontos proibidos (denominador zero).
Passo 6
A inequação pede valores onde a expressão é menor ou igual a zero. Pelas contas:
- a expressão é negativa em
e em ; - a expressão é zero nos pontos
e (estes podem ser incluídos porque o denominador nesses pontos é diferente de zero); - os pontos
e são excluídos do domínio e não podem entrar na solução.
Portanto os valores de
que satisfazem a desigualdade são os de
e
.