Resolva as inequações.
1+\frac{2}{x+1} \leq \frac{2}{x}

Passo 1

O enunciado pede que se resolva a inequação
1+\frac{2}{x+1} \leq \frac{2}{x}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A desigualdade envolve frações com denominadores x+1 e x.
  • Devem ser excluídos do domínio os pontos onde algum denominador é zero: x\neq -1 e x\neq 0.
  • Objetivo: encontrar todos os valores de x (com x\neq -1,0) que satisfazem a desigualdade.

Passo 2

Vamos passar tudo para um único membro, obtendo uma única fração racional cujo sinal podemos estudar. Subtraindo \dfrac{2}{x} dos dois lados:
1+\frac{2}{x+1}-\frac{2}{x} \leq 0.
Para somar/subtrair as frações, usemos o denominador comum x(x+1). Lembre que 1 pode ser escrito como \dfrac{x(x+1)}{x(x+1)}.

Passo 3

Escrevendo com denominador comum:
\frac{x(x+1)}{x(x+1)}+\frac{2x}{x(x+1)}-\frac{2(x+1)}{x(x+1)} \leq 0.
Agora somamos os numeradores (todos sobre x(x+1)):
\frac{x(x+1)+2x-2(x+1)}{x(x+1)} \leq 0.
Calcule o numerador passo a passo:
x(x+1)=x^2+x,\qquad x^2+x+2x = x^2+3x,
x^2+3x-2(x+1)=x^2+3x-2x-2 = x^2+x-2.
Portanto a desigualdade fica
\frac{x^2+x-2}{x(x+1)} \leq 0.

Passo 4

Fatore o numerador x^2+x-2. Procuramos dois números cujo produto seja -2 e soma 1: são 2 e -1. Assim
x^2+x-2=(x-1)(x+2).
A expressão racional fica
\frac{(x-1)(x+2)}{x(x+1)} \leq 0.
Os pontos críticos (zeros do numerador e zeros do denominador) são:
  • zeros do numerador: x=1 e x=-2 (aqui a fração vale 0, desde que o denominador seja diferente de zero),
  • zeros do denominador (pontos excluídos do domínio): x=0 e x=-1.

Passo 5

Para resolver \dfrac{(x-1)(x+2)}{x(x+1)} \leq 0 fazemos a análise de sinais nos intervalos determinados pelos pontos críticos -\infty,-2,-1,0,1,+\infty.
Vamos verificar o sinal da expressão em cada intervalo escolhendo um valor-teste:
  • Para x<-2 (ex.: x=-3): sinais dos fatores (x-1) negativo, (x+2) negativo, x negativo, (x+1) negativo. Numerador: negativo·negativo = positivo. Denominador: negativo·negativo = positivo. Fração: positivo/positivo = positivo.
  • Para -2<x<-1 (ex.: x=-1{,}5): (x-1) negativo, (x+2) positivo, x negativo, (x+1) negativo. Numerador: negativo·positivo = negativo. Denominador: negativo·negativo = positivo. Fração: negativo/positivo = negativo.
  • Para -1<x<0 (ex.: x=-0{,}5): (x-1) negativo, (x+2) positivo, x negativo, (x+1) positivo. Numerador: negativo·positivo = negativo. Denominador: negativo·positivo = negativo. Fração: negativo/negativo = positivo.
  • Para 0<x<1 (ex.: x=0{,}5): (x-1) negativo, (x+2) positivo, x positivo, (x+1) positivo. Numerador: negativo·positivo = negativo. Denominador: positivo·positivo = positivo. Fração: negativo/positivo = negativo.
  • Para x>1 (ex.: x=2): todos os fatores são positivos → fração positiva.
Resumindo os sinais:
  • (-\infty,-2): positivo
  • (-2,-1): negativo
  • (-1,0): positivo
  • (0,1): negativo
  • (1,\infty): positivo
Além disso, em x=-2 e x=1 a expressão vale 0 (numerador zero e denominador não zero), enquanto x=-1 e x=0 são pontos proibidos (denominador zero).

Passo 6

A inequação pede valores onde a expressão é menor ou igual a zero. Pelas contas:
  • a expressão é negativa em (-2,-1) e em (0,1);
  • a expressão é zero nos pontos x=-2 e x=1 (estes podem ser incluídos porque o denominador nesses pontos é diferente de zero);
  • os pontos x=-1 e x=0 são excluídos do domínio e não podem entrar na solução.
Portanto os valores de x que satisfazem a desigualdade são os de [-2,-1) e (0,1].

Resposta

\,[-2,-1)\cup(0,1]\,

Exercícios relacionados