Resolva as inequações.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
Informações relevantes dadas:
- A expressão é uma fração racional com numerador
e denominador . - É necessário encontrar todos os valores reais de
que satisfazem a desigualdade.
Passo 2
Vamos transformar a inequação para uma forma única (colocar tudo num só lado):
Fazendo uma única fração:
Desenvolvendo o numerador:
Portanto a inequação fica
Passo 3
Antes de analisar sinais, vamos checar o domínio e uma propriedade útil:
- O denominador é
. Para todo , tem-se . Logo o denominador nunca é zero e é sempre positivo. Portanto o domínio da inequação é todo . - Como o denominador é sempre positivo, o sinal da fração
é o mesmo do numerador . Em outras palavras, podemos multiplicar ambos os lados da desigualdade por sem mudar o sentido da desigualdade.
Multiplicando por
obtemos a inequação equivalente
Passo 4
Resolver
é o mesmo que
Para resolver
encontramos as raízes da equação associada
, que fatoriza como
As raízes são
e
. Uma maneira usual de analisar a desigualdade de produto é olhar os intervalos determinados pelas raízes. O produto
é maior ou igual a zero quando
está fora do intervalo aberto entre as raízes, ou seja, quando
(Explicação rápida: entre
e
os fatores têm sinais opostos, produzindo produto negativo; fora desse intervalo ambos os fatores têm o mesmo sinal, produzindo produto positivo.)
Passo 5
Incluímos os pontos
e
porque a desigualdade é do tipo
(a igualdade ocorre quando
, dando numerador zero e a fração igual a zero). Verificações rápidas para ganhar confiança:
- Para
: , não satisfaz — coerente com a solução obtida. - Para
: , satisfaz — coerente.
Portanto a solução é