Resolva as inequações.
\frac{x^{2}+6}{x^{2}+1} \leq 2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\frac{x^{2}+6}{x^{2}+1} \leq 2.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão é uma fração racional com numerador x^{2}+6 e denominador x^{2}+1.
  • É necessário encontrar todos os valores reais de x que satisfazem a desigualdade.

Passo 2

Vamos transformar a inequação para uma forma única (colocar tudo num só lado):
\frac{x^{2}+6}{x^{2}+1} - 2 \leq 0.
Fazendo uma única fração:
\frac{x^{2}+6 - 2(x^{2}+1)}{x^{2}+1} \leq 0.
Desenvolvendo o numerador:
x^{2}+6 -2x^{2}-2 = -x^{2}+4.
Portanto a inequação fica
\frac{4 - x^{2}}{x^{2}+1} \leq 0.

Passo 3

Antes de analisar sinais, vamos checar o domínio e uma propriedade útil:
  • O denominador é x^{2}+1. Para todo x\in\mathbb{R}, tem-se x^{2}+1\geq 1>0. Logo o denominador nunca é zero e é sempre positivo. Portanto o domínio da inequação é todo \mathbb{R}.
  • Como o denominador é sempre positivo, o sinal da fração \dfrac{4-x^{2}}{x^{2}+1} é o mesmo do numerador 4-x^{2}. Em outras palavras, podemos multiplicar ambos os lados da desigualdade por x^{2}+1 sem mudar o sentido da desigualdade.
Multiplicando por x^{2}+1>0 obtemos a inequação equivalente
4 - x^{2} \leq 0.

Passo 4

Resolver 4 - x^{2} \leq 0 é o mesmo que
x^{2} \geq 4.
Para resolver x^{2}\geq 4 encontramos as raízes da equação associada x^{2}-4=0, que fatoriza como
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
As raízes são x=-2 e x=2. Uma maneira usual de analisar a desigualdade de produto é olhar os intervalos determinados pelas raízes. O produto (x-2)(x+2) é maior ou igual a zero quando x está fora do intervalo aberto entre as raízes, ou seja, quando
x \leq -2 \quad\text{ou}\quad x \geq 2.
(Explicação rápida: entre -2 e 2 os fatores têm sinais opostos, produzindo produto negativo; fora desse intervalo ambos os fatores têm o mesmo sinal, produzindo produto positivo.)

Passo 5

Incluímos os pontos x=-2 e x=2 porque a desigualdade é do tipo \leq (a igualdade ocorre quando x^{2}=4, dando numerador zero e a fração igual a zero). Verificações rápidas para ganhar confiança:
  • Para x=0: \dfrac{0^{2}+6}{0^{2}+1}=6>2, não satisfaz — coerente com a solução obtida.
  • Para x=3: \dfrac{9+6}{9+1}=\dfrac{15}{10}=1{,}5\leq2, satisfaz — coerente.
Portanto a solução é
x\leq -2\\ \text{ou}\\ x\geq 2.

Resposta

(-\infty,-2]\cup[2,\infty)

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