Resolva as inequações abaixo. U=Q.
\frac{2 x-3}{2}-\frac{3-5 x}{4}>-\frac{2-x}{6}+2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\frac{2x-3}{2}-\frac{3-5x}{4}>-\frac{2-x}{6}+2
e informa que U=\mathbb{Q} (ou seja, o universo das soluções deve ser considerado dentro dos números racionais).
Informações relevantes:
  • A inequação é desigualdade estrita com expressões racionais (frações);
  • Os denominadores presentes são 2, 4 e 6;
  • Precisamos indicar o conjunto de todos os x\in\mathbb{Q} que tornam a desigualdade verdadeira.

Passo 2

Estratégia e observação teórica breve (útil para a prova): quando temos frações com denominadores diferentes, é prático eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados da inequação pelo mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores. Se multiplicarmos por um número positivo, a direção da desigualdade não muda; se fosse negativo, teríamos que inverter o sinal. Aqui os denominadores são 2,4,6 e o MMC é 12. Vamos multiplicar ambos os lados por 12.
Multiplicando termo a termo:
12\left(\frac{2x-3}{2}\right)-12\left(\frac{3-5x}{4}\right)>12\left(-\frac{2-x}{6}\right)+12\cdot 2.

Passo 3

Calcule cada multiplicação separadamente (mostrando distribuição e sinais):
  • Para o primeiro termo:
12\left(\frac{2x-3}{2}\right)=6(2x-3)=12x-18.
  • Para o segundo termo:
12\left(\frac{3-5x}{4}\right)=3(3-5x)=9-15x.
Note que esse termo é subtraído na expressão original, então ficará -(9-15x).
  • Para o terceiro termo (à direita):
12\left(-\frac{2-x}{6}\right)=-2(2-x)=-4+2x.
  • E 12\cdot 2=24.
Agora junte tudo:
(12x-18)- (9-15x) > (-4+2x)+24.

Passo 4

Simplifique ambos os lados da inequação, cuidando dos sinais:
No lado esquerdo:
(12x-18)-(9-15x)=12x-18-9+15x=27x-27.
No lado direito:
(-4+2x)+24=2x+20.
Portanto a inequação simplificada é
27x-27>2x+20.

Passo 5

Agora resolvemos a inequação linear passo a passo:
  1. Subtrair 2x de ambos os lados (como subtrair o mesmo número dos dois lados preserva a desigualdade):
27x-27-2x>20 \quad\Rightarrow\quad 25x-27>20.
  1. Somar 27 a ambos os lados:
25x>20+27 \quad\Rightarrow\quad 25x>47.
  1. Dividir ambos os lados por 25. Como 25>0, a direção da desigualdade não muda:
x>\frac{47}{25}.

Passo 6

Interpretação final dentro do universo U=\mathbb{Q}: a solução são todos os números racionais maiores que \dfrac{47}{25}. Um comentário prático: \dfrac{47}{25}=1,88, então qualquer racional maior que 1,88 (por exemplo 2,\\ \frac{19}{9},\\\ 3, etc.) satisfaz a inequação; valores menores (por exemplo 1) não.
Verificação rápida com um valor teste:
  • Escolhendo x=2 (que é > \tfrac{47}{25}):
    calcule as duas partes originais rapidamente para confirmar que a desigualdade fica verdadeira (isso é uma checagem útil na prova).

Resposta

\{x\in\mathbb{Q}\mid x>\dfrac{47}{25}\}

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