Resolva as inequações abaixo.
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
e informa que
(ou seja, o universo das soluções deve ser considerado dentro dos números racionais).
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A inequação é desigualdade estrita com expressões racionais (frações);
- Os denominadores presentes são
, e ; - Precisamos indicar o conjunto de todos os
que tornam a desigualdade verdadeira.
Passo 2
Estratégia e observação teórica breve (útil para a prova): quando temos frações com denominadores diferentes, é prático eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados da inequação pelo mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores. Se multiplicarmos por um número positivo, a direção da desigualdade não muda; se fosse negativo, teríamos que inverter o sinal. Aqui os denominadores são
e o MMC é
. Vamos multiplicar ambos os lados por
.
Multiplicando termo a termo:
Passo 3
Calcule cada multiplicação separadamente (mostrando distribuição e sinais):
- Para o primeiro termo:
- Para o segundo termo:
Note que esse termo é subtraído na expressão original, então ficará
.
- Para o terceiro termo (à direita):
- E
.
Agora junte tudo:
Passo 4
Simplifique ambos os lados da inequação, cuidando dos sinais:
No lado esquerdo:
No lado direito:
Portanto a inequação simplificada é
Passo 5
Agora resolvemos a inequação linear passo a passo:
- Subtrair
de ambos os lados (como subtrair o mesmo número dos dois lados preserva a desigualdade):
- Somar
a ambos os lados:
- Dividir ambos os lados por
. Como , a direção da desigualdade não muda:
Passo 6
Interpretação final dentro do universo
: a solução são todos os números racionais maiores que
. Um comentário prático:
, então qualquer racional maior que
(por exemplo
, etc.) satisfaz a inequação; valores menores (por exemplo
) não.
Verificação rápida com um valor teste:
- Escolhendo
(que é ):
calcule as duas partes originais rapidamente para confirmar que a desigualdade fica verdadeira (isso é uma checagem útil na prova).