Resolva as inequações abaixo. U=Q.
\frac{x}{2}+\frac{x}{3} \leq \frac{2 x}{5}-7

Passo 1

O enunciado dá a inequação
\frac{x}{2}+\frac{x}{3}\leq \frac{2x}{5}-7
e informa que U=\mathbb{Q} (o universo das soluções é o conjunto dos números racionais).
O que é pedido: determinar todos os x\in\mathbb{Q} que satisfazem a inequação acima.
Informações relevantes que temos: os coeficientes são frações com denominadores 2, 3 e 5; trata‑se de uma inequação linear em x.

Passo 2

Estratégia (de forma simples e prática): eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados por um múltiplo comum dos denominadores (o mínimo múltiplo comum facilita), transformar a inequação em uma forma do tipo ax\le b, e então isolar x.
Regra importante sobre inequações que vamos usar: se multiplicarmos ou dividirmos ambos os lados por um número positivo, o sinal da inequação permanece; se fizermos por um número negativo, o sinal se inverte. Aqui multiplicaremos por um número positivo (o MMC), então o sinal não muda.

Passo 3

Calcular o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores 2, 3 e 5.
O MMC é 30 porque 30 é o menor número inteiro positivo divisível por 2, 3 e 5.
Multiplicamos ambos os lados da inequação por 30 (número positivo, logo o sentido da desigualdade se mantém):
30\left(\frac{x}{2}+\frac{x}{3}\right)\leq 30\left(\frac{2x}{5}-7\right).

Passo 4

Fazer as multiplicações de cada termo, lembrando que \,30\cdot\frac{x}{2}=15x, \,30\cdot\frac{x}{3}=10x, \,30\cdot\frac{2x}{5}=12x e \,30\cdot(-7)=-210. Portanto:
15x+10x \le 12x -210.
Agora somamos os termos semelhantes do lado esquerdo:
25x \le 12x -210.

Passo 5

Isolar x: subtraímos 12x de ambos os lados (subtrair a mesma quantidade de ambos os lados preserva a desigualdade):
25x-12x \le -210,
ou seja
13x \le -210.

Passo 6

Dividir ambos os lados por 13. Como 13>0, a desigualdade não se inverte. Assim:
x \le -\frac{210}{13}.
Podemos fazer uma checagem rápida para ganhar confiança: tome x=-17 (que é racional e menor que -\tfrac{210}{13}\approx -16{,}1538). Substituindo na inequação original obtemos no lado esquerdo aproximadamente -14{,}1667 e no direito -13{,}8; de fato -14{,}1667\le -13{,}8 é verdadeiro. Para x=-16 (maior que -\tfrac{210}{13}) a inequação falha, então o resultado faz sentido. Também é fácil verificar que para x=-\tfrac{210}{13} temos igualdade.

Passo 7

Como o universo é \mathbb{Q}, a solução é o conjunto de todos os números racionais menores ou iguais a -\tfrac{210}{13}. Em notação de conjunto:
\{x\in\mathbb{Q}\mid x\le -\tfrac{210}{13}\}.

Resposta

\{x\in\mathbb{Q}\mid x\le -\tfrac{210}{13}\}

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