Resolva as inequações abaixo.
.
Passo 1
O enunciado dá a inequação
e informa que
(o universo das soluções é o conjunto dos números racionais).
O que é pedido: determinar todos os que satisfazem a inequação acima.
Informações relevantes que temos: os coeficientes são frações com denominadores ,
e
; trata‑se de uma inequação linear em
.
O que é pedido: determinar todos os
Informações relevantes que temos: os coeficientes são frações com denominadores
Passo 2
Estratégia (de forma simples e prática): eliminar os denominadores multiplicando ambos os lados por um múltiplo comum dos denominadores (o mínimo múltiplo comum facilita), transformar a inequação em uma forma do tipo
, e então isolar
.
Regra importante sobre inequações que vamos usar: se multiplicarmos ou dividirmos ambos os lados por um número positivo, o sinal da inequação permanece; se fizermos por um número negativo, o sinal se inverte. Aqui multiplicaremos por um número positivo (o MMC), então o sinal não muda.
Regra importante sobre inequações que vamos usar: se multiplicarmos ou dividirmos ambos os lados por um número positivo, o sinal da inequação permanece; se fizermos por um número negativo, o sinal se inverte. Aqui multiplicaremos por um número positivo (o MMC), então o sinal não muda.
Passo 3
Calcular o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores
,
e
.
O MMC é porque
é o menor número inteiro positivo divisível por
,
e
.
Multiplicamos ambos os lados da inequação por (número positivo, logo o sentido da desigualdade se mantém):
O MMC é
Multiplicamos ambos os lados da inequação por
Passo 4
Fazer as multiplicações de cada termo, lembrando que
,
,
e
. Portanto:
Agora somamos os termos semelhantes do lado esquerdo:
Passo 5
Isolar
: subtraímos
de ambos os lados (subtrair a mesma quantidade de ambos os lados preserva a desigualdade):
ou seja
Passo 6
Dividir ambos os lados por
. Como
, a desigualdade não se inverte. Assim:
Podemos fazer uma checagem rápida para ganhar confiança: tome
(que é racional e menor que
). Substituindo na inequação original obtemos no lado esquerdo aproximadamente
e no direito
; de fato
é verdadeiro. Para
(maior que
) a inequação falha, então o resultado faz sentido. Também é fácil verificar que para
temos igualdade.
Passo 7
Como o universo é
, a solução é o conjunto de todos os números racionais menores ou iguais a
. Em notação de conjunto: