Resolva as inequações abaixo:
\frac{(x-2)(4-x)}{x+3} \geq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
\frac{(x-2)(4-x)}{x+3} \geq 0.
O conteúdo é análise de sinal de função racional. Vamos precisar encontrar onde o numerador se anula, onde o denominador é zero (pontos de descontinuidade) e estudar o sinal em cada intervalo resultante.

Passo 2

Identificamos os pontos críticos:
– Numerador zero em x=2 (pois x-2=0) e em x=4 (pois 4-x=0).
– Denominador zero em x=-3, onde a expressão não está definida.

Passo 3

Esses pontos dividem a reta em quatro intervalos: (-\infty,-3), (-3,2), (2,4) e (4,\infty). Em cada intervalo, determinamos o sinal de cada fator:
Para x< -3: (x-2)<0,\;(4-x)>0,\;(x+3)<0
→ produto \dfrac{(x-2)(4-x)}{x+3}>0.
Para -3<x<2: (x-2)<0,\;(4-x)>0,\;(x+3)>0
→ produto <0.
Para 2<x<4: (x-2)>0,\;(4-x)>0,\;(x+3)>0
→ produto >0.
Para x>4: (x-2)>0,\;(4-x)<0,\;(x+3)>0
→ produto <0.

Passo 4

Queremos \frac{(x-2)(4-x)}{x+3}\ge0.
– Nos intervalos onde o produto é positivo, a inequação vale estritamente.
– Em x=2 e x=4 o numerador zera e a fração vale zero (permitido pelo “ \ge”), pois o denominador não se anula nesses pontos.
– Em x=-3 a expressão é indefinida e não entra na solução.
Portanto, a solução é
(-\infty,-3)\;\cup\;[2,4].

Resposta

x\in(-\infty,-3)\cup[2,4].

Exercícios relacionados