Resolva as inequações abaixo:
\frac{x(x-4)}{x+2}<0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\frac{x(x-4)}{x+2}<0.
O conteúdo envolvido é o estudo do sinal de uma função racional. Para resolver precisamos:
  1. Identificar os pontos críticos (zeros do numerador e valores que anulam o denominador).
  2. Fazer uma análise de sinal em cada intervalo entre esses pontos.

Passo 2

Encontramos os pontos críticos:
  • Numerador x(x-4) anula-se em x=0 e em x=4.
  • Denominador x+2 anula-se em x=-2, que não pertence ao domínio.
    Portanto os pontos que dividem a reta são -2, 0 e 4.

Passo 3

Os intervalos gerados são (-\infty,-2), (-2,0), (0,4) e (4,\infty).
Em cada um deles, analisamos o sinal de cada fator:
  • Fator x: negativo para x<0, positivo para x>0.
  • Fator x-4: negativo para x<4, positivo para x>4.
  • Fator x+2: negativo para x<-2, positivo para x>-2.

Passo 4

Agora, em cada intervalo, determinamos o sinal de \displaystyle \frac{x(x-4)}{x+2}:
Em (-\infty,-2): x<0 x negativo; x<4 x-4 negativo; x<-2 x+2 negativo.
Então numerador = (negativo) \times(negativo)=positivo, e divisor = negativo ⇒ quociente negativo.
Em (-2,0): x<0 x negativo; x<4 x-4 negativo; x>-2 x+2 positivo.
Então numerado r=positivo, diviso r=positivo ⇒ quociente positivo.
Em (0,4): x>0 x positivo; x<4 x-4 negativo; x>-2 x+2 positivo.
Então numerado r=negativo, diviso r=positivo ⇒ quociente negativo.
Em (4,\infty): x>0 x positivo; x>4 x-4 positivo; x>-2 x+2 positivo.
Então numerado r=positivo, diviso r=positivo ⇒ quociente positivo.
Queremos onde o quociente é menor que zero, isto é, negativo.

Resposta

A solução da inequação é
(-\infty,-2)\;\cup\;(0,4).

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