Resolva as inequações abaixo:
6 x^{2}-x-35 \geq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação quadrática
6x^{2}-x-35 \geq 0.
Informações dadas:
  • Trata‑se de um polinômio quadrático com coeficientes \,a=6, b=-1 e c=-35.
  • A incógnita é x e queremos todos os valores de x que tornam a expressão maior ou igual a zero.

Passo 2

Ideia geral (explicação didática e rápida do que vamos usar):
  • Para resolver uma inequação do tipo \,ax^{2}+bx+c\ge 0, primeiro encontramos as raízes da equação associada \,ax^{2}+bx+c=0. Essas raízes dividem a reta real em intervalos.
  • Depois fazemos uma análise de sinais: em cada intervalo a expressão quadrática tem sinal constante; como o coeficiente a informa a concavidade da parábola ( a>0 abre para cima, a<0 abre para baixo), sabemos em que intervalos a parábola fica acima ou abaixo do eixo x.
  • Para encontrar as raízes podemos usar a fórmula quadrática:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad\text{onde}\qquad \Delta=b^{2}-4ac
Aqui \Delta é o discriminante; se \Delta\ge0 a equação tem raízes reais (importante para dividir a reta).

Passo 3

Calcular o discriminante \Delta:
\Delta = b^{2}-4ac = (-1)^{2}-4\cdot6\cdot(-35) = 1 + 840 = 841.
Como \Delta=841 e \sqrt{841}=29, temos \Delta>0 e duas raízes reais distintas.

Passo 4

Aplicar a fórmula quadrática para obter as raízes:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1\pm 29}{12}.
Calculando cada caso:
x_{1}=\frac{1-29}{12}=\frac{-28}{12}=-\frac{7}{3}, \qquad x_{2}=\frac{1+29}{12}=\frac{30}{12}=\frac{5}{2}.

Passo 5

Fatoração (opcional mas útil): conhecendo as raízes, podemos escrever o polinômio fatorado. Uma forma é
6x^{2}-x-35 = 6\Bigl(x+\frac{7}{3}\Bigr)\Bigl(x-\frac{5}{2}\Bigr).
Multiplicando os fatores constantes, isto é equivalente a
6x^{2}-x-35=(3x+7)(2x-5).
Verificação rápida: (3x+7)(2x-5)=6x^{2}-15x+14x-35=6x^{2}-x-35, OK.

Passo 6

Análise de sinais (passo a passo didático):
  • A expressão está escrita como produto de dois fatores lineares: (3x+7)(2x-5).
  • Esse produto é \ge 0 quando os dois fatores têm o mesmo sinal: ambos não negativos ou ambos não positivos.
  • Zeros ocorrem em x=-\tfrac{7}{3} (anula 3x+7) e em x=\tfrac{5}{2} (anula 2x-5); em ambos pontos a expressão vale 0, e como queremos \ge0, esses pontos serão incluídos na solução.
  • Teste de sinais nas regiões:
    • Para x<-\tfrac{7}{3}, por exemplo x=-3: 3(-3)+7=-2<0 e 2(-3)-5=-11<0. Dois fatores negativos -> produto positivo.
    • Para -\tfrac{7}{3}<x<\tfrac{5}{2}, por exemplo x=0: 3\cdot0+7=7>0 e 2\cdot0-5=-5<0. Fatores com sinais opostos -> produto negativo.
    • Para x>\tfrac{5}{2}, por exemplo x=3: 3\cdot3+7=16>0 e 2\cdot3-5=1>0. Dois fatores positivos -> produto positivo.
  • Conclusão da análise de sinais: a expressão é não negativa na união das duas regiões exteriores aos zeros, incluindo os zeros.

Resposta

\,(-\infty,-\tfrac{7}{3}] \cup [\tfrac{5}{2},\infty)

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