Resolva as inequações abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação quadrática
Informações dadas:
- Trata‑se de um polinômio quadrático com coeficientes
, e . - A incógnita é
e queremos todos os valores de que tornam a expressão maior ou igual a zero.
Passo 2
Ideia geral (explicação didática e rápida do que vamos usar):
- Para resolver uma inequação do tipo
, primeiro encontramos as raízes da equação associada . Essas raízes dividem a reta real em intervalos. - Depois fazemos uma análise de sinais: em cada intervalo a expressão quadrática tem sinal constante; como o coeficiente
informa a concavidade da parábola ( abre para cima, abre para baixo), sabemos em que intervalos a parábola fica acima ou abaixo do eixo . - Para encontrar as raízes podemos usar a fórmula quadrática:
Aqui
é o discriminante; se
a equação tem raízes reais (importante para dividir a reta).
Passo 3
Calcular o discriminante
:
Como
e
, temos
e duas raízes reais distintas.
Passo 4
Aplicar a fórmula quadrática para obter as raízes:
Calculando cada caso:
Passo 5
Fatoração (opcional mas útil): conhecendo as raízes, podemos escrever o polinômio fatorado. Uma forma é
Multiplicando os fatores constantes, isto é equivalente a
Verificação rápida:
, OK.
Passo 6
Análise de sinais (passo a passo didático):
- A expressão está escrita como produto de dois fatores lineares:
. - Esse produto é
quando os dois fatores têm o mesmo sinal: ambos não negativos ou ambos não positivos. - Zeros ocorrem em
(anula ) e em (anula ); em ambos pontos a expressão vale , e como queremos , esses pontos serão incluídos na solução. - Teste de sinais nas regiões:
- Para
, por exemplo : e . Dois fatores negativos -> produto positivo. - Para
, por exemplo : e . Fatores com sinais opostos -> produto negativo. - Para
, por exemplo : e . Dois fatores positivos -> produto positivo.
- Para
- Conclusão da análise de sinais: a expressão é não negativa na união das duas regiões exteriores aos zeros, incluindo os zeros.