Resolva as inequações abaixo:
\frac{x-1}{2 x-5} \leq \frac{1+x / 2}{2 x+3}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\frac{x-1}{2x-5} \leq \frac{1+x/2}{2x+3}.
Informações dadas e o que se pede:
  • Temos uma desigualdade entre duas frações racionais em x.
  • Devemos encontrar todos os valores reais de x que tornam essa desigualdade verdadeira.
  • Importante: não é permitido tomar valores que anulam qualquer denominador (esses valores ficam fora do domínio).

Passo 2

Primeiro passo técnico: escrever o lado direito de forma mais simples para manipular melhor. Observando o numerador da direita,
1+\frac{x}{2}=\frac{2+x}{2}=\frac{x+2}{2}.
Logo a inequação fica
\frac{x-1}{2x-5}\le \frac{x+2}{2(2x+3)}.

Passo 3

Passo padrão para inequações racionais: passar tudo para o lado esquerdo e obter uma única expressão racional menor ou igual a zero. Subtraindo a segunda fração da primeira:
\frac{x-1}{2x-5}-\frac{x+2}{2(2x+3)}\le 0.
Colocamos as frações sobre um mesmo denominador comum para juntar em uma só fração.

Passo 4

O denominador comum escolhido é 2(2x-5)(2x+3). Reescrevendo cada termo sobre esse denominador:
\frac{x-1}{2x-5}=\frac{2(x-1)(2x+3)}{2(2x-5)(2x+3)}, \qquad \frac{x+2}{2(2x+3)}=\frac{(x+2)(2x-5)}{2(2x-5)(2x+3)}.
Subtraindo os numeradores sobre o denominador comum obtemos a inequação equivalente
\frac{2(x-1)(2x+3)-(x+2)(2x-5)}{2(2x-5)(2x+3)}\le 0.

Passo 5

Agora simplificamos o numerador com contas passo a passo:
2(x-1)(2x+3)=2\bigl(2x^2+x-3\bigr)=4x^2+2x-6,
(x+2)(2x-5)=2x^2-x-10.
Subtraindo:
2(x-1)(2x+3)-(x+2)(2x-5)= (4x^2+2x-6)-(2x^2-x-10)=2x^2+3x+4.
Portanto a inequação ficou
\frac{2x^2+3x+4}{2(2x-5)(2x+3)}\le 0.

Passo 6

Analisemos o numerador 2x^2+3x+4. Para ver se ele pode anular-se (o que permitiria igualdade), calculamos o discriminante:
\Delta = 3^2-4\cdot2\cdot4=9-32=-23.
Como \Delta<0 e o coeficiente líder é positivo ( 2>0), concluímos que 2x^2+3x+4>0 para todo x\in\mathbb{R}. Ou seja, o numerador é sempre estritamente positivo e nunca zera.

Passo 7

Como o numerador é sempre positivo, o sinal da fração
\frac{2x^2+3x+4}{2(2x-5)(2x+3)}
é determinado apenas pelo sinal do denominador 2(2x-5)(2x+3). O fator 2 é positivo e não altera o sinal, então basta analisar o produto (2x-5)(2x+3).
As raízes desse produto (onde ele muda de sinal) são
2x-5=0\Rightarrow x=\frac{5}{2},\qquad 2x+3=0\Rightarrow x=-\frac{3}{2}.
Para a fração ser menor ou igual a zero, precisamos que a fração seja negativa ou zero. Mas já vimos que o numerador nunca é zero; portanto a fração não pode ser zero. Assim buscamos os x que tornam a fração negativa, ou seja, precisamos de
(2x-5)(2x+3)<0.

Passo 8

Análise do produto de dois fatores lineares: um produto de duas retas de sinais opostos é negativo quando x está estritamente entre as raízes encontradas. Além disso, devemos excluir da solução qualquer ponto que anule os denominadores originais, isto é, excluir x=\frac{5}{2} e x=-\frac{3}{2}.
Com isso temos toda a informação necessária para dar a resposta final.

Resposta

\left(-\frac{3}{2},\frac{5}{2}\right)

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