Resolva as inequações abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
Informações dadas e o que se pede:
- Temos uma desigualdade entre duas frações racionais em
. - Devemos encontrar todos os valores reais de
que tornam essa desigualdade verdadeira. - Importante: não é permitido tomar valores que anulam qualquer denominador (esses valores ficam fora do domínio).
Passo 2
Primeiro passo técnico: escrever o lado direito de forma mais simples para manipular melhor. Observando o numerador da direita,
Logo a inequação fica
Passo 3
Passo padrão para inequações racionais: passar tudo para o lado esquerdo e obter uma única expressão racional menor ou igual a zero. Subtraindo a segunda fração da primeira:
Colocamos as frações sobre um mesmo denominador comum para juntar em uma só fração.
Passo 4
O denominador comum escolhido é
. Reescrevendo cada termo sobre esse denominador:
Subtraindo os numeradores sobre o denominador comum obtemos a inequação equivalente
Passo 5
Agora simplificamos o numerador com contas passo a passo:
Subtraindo:
Portanto a inequação ficou
Passo 6
Analisemos o numerador
. Para ver se ele pode anular-se (o que permitiria igualdade), calculamos o discriminante:
Como
e o coeficiente líder é positivo (
), concluímos que
para todo
. Ou seja, o numerador é sempre estritamente positivo e nunca zera.
Passo 7
Como o numerador é sempre positivo, o sinal da fração
é determinado apenas pelo sinal do denominador
. O fator
é positivo e não altera o sinal, então basta analisar o produto
.
As raízes desse produto (onde ele muda de sinal) são
Para a fração ser menor ou igual a zero, precisamos que a fração seja negativa ou zero. Mas já vimos que o numerador nunca é zero; portanto a fração não pode ser zero. Assim buscamos os
que tornam a fração negativa, ou seja, precisamos de
Passo 8
Análise do produto de dois fatores lineares: um produto de duas retas de sinais opostos é negativo quando
está estritamente entre as raízes encontradas. Além disso, devemos excluir da solução qualquer ponto que anule os denominadores originais, isto é, excluir
e
.
Com isso temos toda a informação necessária para dar a resposta final.