Resolva as inequações.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão é uma função racional (fração de polinômios).
- O domínio real precisa excluir os pontos que anulam o denominador
(esses valores não são permitidos). - A pergunta é: para quais
a desigualdade acima é verdadeira?
Passo 2
Primeiro passo algébrico padrão: passar tudo para um único lado da desigualdade, considerando o mesmo denominador. Subtraio
de ambos os lados e coloco em uma só fração:
Coloco os termos sobre o mesmo denominador (multiplicando
por
):
Agora efetuo a operação no numerador passo a passo:
Somando termos semelhantes:
logo o numerador simplifica para
Portanto a inequação fica
Lembrete: o denominador
não pode ser zero; esses pontos serão excluídos do domínio.
Passo 3
Fatoro numerador e denominador para trabalhar com fatores lineares (isso facilita o estudo de sinais).
Fator do numerador
: procurar dois números cujo produto seja
e soma
. Esses números são
e
. Assim
Fator do denominador
: procurar dois números cujo produto seja
e soma
. Esses números são
e
. Assim
Reescrevendo a desigualdade em fatores:
Passo 4
Método para resolver
:
- Identificar os pontos críticos (zeros do numerador e zeros do denominador).
- Ordenar esses pontos na reta e estudar o sinal da expressão em cada intervalo entre eles, usando um ponto-teste.
- Zeros do numerador tornam a fração igual a
(satisfazem , desde que o denominador não seja zero aí). - Zeros do denominador tornam a fração indefinida (esses pontos são excluídos).
- Se todos os fatores são de multiplicidade ímpar (aqui são todos linhares, multiplicidade 1), o sinal da expressão muda ao passar por cada ponto crítico.
Os pontos críticos são as raízes dos fatores:
- Numerador:
e . - Denominador:
e (esses valores não pertencem ao domínio).
Ordenando na reta:
.
Passo 5
Agora faço um estudo de sinais por intervalos. Em cada intervalo escolho um ponto-teste simples e avalio o sinal de cada fator
. Vou mostrar cada intervalo com o ponto-teste escolhido e o sinal final.
- Intervalo
. Ponto-teste: .
-
(negativo), -
(negativo), -
(negativo), -
(negativo).
Produto:. Resultado: positivo.
- Intervalo
. Ponto-teste: .
-
(negativo), -
(positivo), -
(negativo), -
(negativo).
Produto:. Resultado: negativo.
- Intervalo
. Ponto-teste: (ou ).
-
(negativo), -
(positivo), -
(negativo), -
(positivo).
Produto:. Resultado: positivo.
- Intervalo
. Ponto-teste: .
-
(positivo), -
(positivo), -
(negativo), -
(positivo).
Produto:. Resultado: negativo.
- Intervalo
. Ponto-teste: .
-
(positivo), -
(positivo), -
(positivo), -
(positivo).
Produto:. Resultado: positivo.
Passo 6
Interpretando o que queremos: a expressão deve ser maior ou igual a zero. Pelos sinais encontrados:
- É positiva em
, em e em . - É negativa em
e . - Em
e a expressão vale (zeros do numerador), portanto esses pontos satisfazem a desigualdade — desde que não anulem o denominador (não anulam: e não são raízes do denominador). - Em
e o denominador é zero, então esses pontos estão fora do domínio e devem ser excluídos.
Assim a solução é a união dos intervalos onde a expressão é positiva, com inclusão dos zeros do numerador: