Resolva as inequações.
\frac{3 x^{2}+2 x-13}{x^{2}-3 x-10} \geq 2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\frac{3x^{2}+2x-13}{x^{2}-3x-10}\geq 2.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão é uma função racional (fração de polinômios).
  • O domínio real precisa excluir os pontos que anulam o denominador x^{2}-3x-10 (esses valores não são permitidos).
  • A pergunta é: para quais x\in\mathbb{R} a desigualdade acima é verdadeira?

Passo 2

Primeiro passo algébrico padrão: passar tudo para um único lado da desigualdade, considerando o mesmo denominador. Subtraio 2 de ambos os lados e coloco em uma só fração:
\frac{3x^{2}+2x-13}{x^{2}-3x-10}-2 \ge 0.
Coloco os termos sobre o mesmo denominador (multiplicando 2 por \dfrac{x^{2}-3x-10}{x^{2}-3x-10}):
\frac{3x^{2}+2x-13 - 2(x^{2}-3x-10)}{x^{2}-3x-10}\ge 0.
Agora efetuo a operação no numerador passo a passo:
3x^{2}+2x-13 - 2(x^{2}-3x-10) =3x^{2}+2x-13 -2x^{2}+6x+20.
Somando termos semelhantes:
3x^{2}-2x^{2} = x^{2},\qquad 2x+6x=8x,\qquad -13+20=7,
logo o numerador simplifica para
x^{2}+8x+7.
Portanto a inequação fica
\frac{x^{2}+8x+7}{x^{2}-3x-10}\ge 0.
Lembrete: o denominador x^{2}-3x-10 não pode ser zero; esses pontos serão excluídos do domínio.

Passo 3

Fatoro numerador e denominador para trabalhar com fatores lineares (isso facilita o estudo de sinais).
Fator do numerador x^{2}+8x+7: procurar dois números cujo produto seja 7 e soma 8. Esses números são 1 e 7. Assim
x^{2}+8x+7=(x+1)(x+7).
Fator do denominador x^{2}-3x-10: procurar dois números cujo produto seja -10 e soma -3. Esses números são -5 e 2. Assim
x^{2}-3x-10=(x-5)(x+2).
Reescrevendo a desigualdade em fatores:
\frac{(x+1)(x+7)}{(x-5)(x+2)}\ge 0.

Passo 4

Método para resolver \dfrac{\text{produto de fatores}}{\text{produto de fatores}}\ge 0:
  • Identificar os pontos críticos (zeros do numerador e zeros do denominador).
  • Ordenar esses pontos na reta e estudar o sinal da expressão em cada intervalo entre eles, usando um ponto-teste.
  • Zeros do numerador tornam a fração igual a 0 (satisfazem \ge 0, desde que o denominador não seja zero aí).
  • Zeros do denominador tornam a fração indefinida (esses pontos são excluídos).
  • Se todos os fatores são de multiplicidade ímpar (aqui são todos linhares, multiplicidade 1), o sinal da expressão muda ao passar por cada ponto crítico.
Os pontos críticos são as raízes dos fatores:
  • Numerador: x=-1 e x=-7.
  • Denominador: x=5 e x=-2 (esses valores não pertencem ao domínio).
Ordenando na reta: -7,\\\ -2,\\\ -1,\\\ 5.

Passo 5

Agora faço um estudo de sinais por intervalos. Em cada intervalo escolho um ponto-teste simples e avalio o sinal de cada fator (x+1),(x+7),(x-5),(x+2). Vou mostrar cada intervalo com o ponto-teste escolhido e o sinal final.
  1. Intervalo (-\infty,-7). Ponto-teste: x=-8.
  • x+1=-7 (negativo),
  • x+7=-1 (negativo),
  • x-5=-13 (negativo),
  • x+2=-6 (negativo).
    Produto: (-) \cdot (-) / ((-) \cdot (-)) = (+)/(+)=+. Resultado: positivo.
  1. Intervalo (-7,-2). Ponto-teste: x=-3.
  • x+1=-2 (negativo),
  • x+7=4 (positivo),
  • x-5=-8 (negativo),
  • x+2=-1 (negativo).
    Produto: (-)\cdot(+)/((-)\cdot(-)) = (-)/(+)= -. Resultado: negativo.
  1. Intervalo (-2,-1). Ponto-teste: x=-1{,}5 (ou -3/2).
  • x+1=-0{,}5 (negativo),
  • x+7=5{,}5 (positivo),
  • x-5=-6{,}5 (negativo),
  • x+2=0{,}5 (positivo).
    Produto: (-)\cdot(+)/((-)\cdot(+)) = (-)/(-) = +. Resultado: positivo.
  1. Intervalo (-1,5). Ponto-teste: x=0.
  • x+1=1 (positivo),
  • x+7=7 (positivo),
  • x-5=-5 (negativo),
  • x+2=2 (positivo).
    Produto: (+)\cdot(+)/((-)\cdot(+)) = (+)/(-) = -. Resultado: negativo.
  1. Intervalo (5,\infty). Ponto-teste: x=6.
  • x+1=7 (positivo),
  • x+7=13 (positivo),
  • x-5=1 (positivo),
  • x+2=8 (positivo).
    Produto: (+)\cdot(+)/((+)\cdot(+)) = (+)/(+) = +. Resultado: positivo.

Passo 6

Interpretando o que queremos: a expressão deve ser maior ou igual a zero. Pelos sinais encontrados:
  • É positiva em (-\infty,-7), em (-2,-1) e em (5,\infty).
  • É negativa em (-7,-2) e (-1,5).
  • Em x=-7 e x=-1 a expressão vale 0 (zeros do numerador), portanto esses pontos satisfazem a desigualdade \ge 0 — desde que não anulem o denominador (não anulam: -7 e -1 não são raízes do denominador).
  • Em x=-2 e x=5 o denominador é zero, então esses pontos estão fora do domínio e devem ser excluídos.
Assim a solução é a união dos intervalos onde a expressão é positiva, com inclusão dos zeros do numerador:
(-\infty,-7]\\ \cup\\ (-2,-1]\\ \cup\\ (5,\infty).

Resposta

(-\infty,-7]\cup(-2,-1]\cup(5,\infty)

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