Resolva as inequações.
Passo 1
O enunciado nos dá a inequação
e pede encontrar todos os valores reais de
que satisfazem essa desigualdade. Observação imediata:
não pode ser
porque isso anula o denominador.
Passo 2
Vamos colocar tudo em um único lado para trabalhar com uma única expressão racional. Subtraindo
de ambos os lados obtemos
Para juntar em uma fração só, escrevemos
(desde que
) e fazemos a subtração:
Passo 3
Calcule o numerador:
Portanto a inequação vira
Passo 4
Fatore o polinômio do numerador para facilitar a análise. Procuramos dois números cujo produto seja
e cuja soma seja
. Esses números são
e
. Logo
A inequação fica
com a condição
.
Passo 5
Explicação didática rápida do método de sinais: para uma fração racional, o sinal depende apenas dos sinais dos fatores do numerador e do denominador. Os pontos onde algum fator se anula ou onde o denominador é zero são pontos críticos que dividem a reta em intervalos nos quais a expressão tem sinal constante. Se a expressão for
, incluímos os zeros do numerador (quando o denominador não anula nesses pontos) e excluímos os pontos onde o denominador é zero.
Os pontos críticos aqui são as raízes dos fatores:
Passo 6
Ordenando esses pontos na reta real temos
. Vamos analisar o sinal da expressão em cada intervalo usando um valor teste:
-
Intervalo
. Tome . Numerador:. Denominador: . Assim a fração é . Como queremos , todo esse intervalo satisfaz. -
Intervalo
. Tome . Numerador:. Denominador: . Fração: . Não satisfaz . -
Intervalo
. Tome . Numerador:. Denominador: . Fração: . Satisfaz . -
Intervalo
. Tome . Numerador:. Denominador: . Fração: . Não satisfaz.
Passo 7
Agora trate os pontos críticos:
- Em
e o numerador é zero e o denominador é diferente de zero, então a expressão vale nesses pontos e como temos devemos incluí-los. - Em
o denominador é zero, portanto a expressão é indefinida aí e deve ser excluído.
Passo 8
Juntando as partes que satisfazem a desigualdade e respeitando inclusões/exclusões, a solução é