Resolva as inequações.
\frac{x^{2}+2 x+3}{x+15} \leq 1

Passo 1

O enunciado nos dá a inequação
\frac{x^{2}+2x+3}{x+15}\leq 1
e pede encontrar todos os valores reais de x que satisfazem essa desigualdade. Observação imediata: x não pode ser -15 porque isso anula o denominador.

Passo 2

Vamos colocar tudo em um único lado para trabalhar com uma única expressão racional. Subtraindo 1 de ambos os lados obtemos
\frac{x^{2}+2x+3}{x+15}-1 \leq 0.
Para juntar em uma fração só, escrevemos 1=\dfrac{x+15}{x+15} (desde que x\neq -15) e fazemos a subtração:
\frac{x^{2}+2x+3-(x+15)}{x+15}\leq 0.

Passo 3

Calcule o numerador:
x^{2}+2x+3-(x+15)=x^{2}+2x+3-x-15=x^{2}+x-12.
Portanto a inequação vira
\frac{x^{2}+x-12}{x+15}\leq 0.

Passo 4

Fatore o polinômio do numerador para facilitar a análise. Procuramos dois números cujo produto seja -12 e cuja soma seja 1. Esses números são 4 e -3. Logo
x^{2}+x-12=(x+4)(x-3).
A inequação fica
\frac{(x+4)(x-3)}{x+15}\leq 0,
com a condição x\neq -15.

Passo 5

Explicação didática rápida do método de sinais: para uma fração racional, o sinal depende apenas dos sinais dos fatores do numerador e do denominador. Os pontos onde algum fator se anula ou onde o denominador é zero são pontos críticos que dividem a reta em intervalos nos quais a expressão tem sinal constante. Se a expressão for \leq 0, incluímos os zeros do numerador (quando o denominador não anula nesses pontos) e excluímos os pontos onde o denominador é zero.
Os pontos críticos aqui são as raízes dos fatores:
x=-4,\qquad x=3,\qquad x=-15.

Passo 6

Ordenando esses pontos na reta real temos -\infty< -15< -4< 3<\infty. Vamos analisar o sinal da expressão em cada intervalo usando um valor teste:
  • Intervalo (-\infty,-15). Tome x=-16.
    x+4=-12\;(\text{neg}),\quad x-3=-19\;(\text{neg}),\quad x+15=-1\;(\text{neg}).
    Numerador: (\text{neg})\cdot(\text{neg})=\text{pos}. Denominador: \text{neg}. Assim a fração é \text{pos}/\text{neg}=\text{neg}. Como queremos \leq 0, todo esse intervalo satisfaz.
  • Intervalo (-15,-4). Tome x=-10.
    x+4=-6\;(\text{neg}),\quad x-3=-13\;(\text{neg}),\quad x+15=5\;(\text{pos}).
    Numerador: \text{pos}. Denominador: \text{pos}. Fração: \text{pos}. Não satisfaz \leq 0.
  • Intervalo (-4,3). Tome x=0.
    x+4=4\;(\text{pos}),\quad x-3=-3\;(\text{neg}),\quad x+15=15\;(\text{pos}).
    Numerador: \text{pos}\cdot\text{neg}=\text{neg}. Denominador: \text{pos}. Fração: \text{neg}. Satisfaz \leq 0.
  • Intervalo (3,\infty). Tome x=4.
    x+4=8\;(\text{pos}),\quad x-3=1\;(\text{pos}),\quad x+15=19\;(\text{pos}).
    Numerador: \text{pos}. Denominador: \text{pos}. Fração: \text{pos}. Não satisfaz.

Passo 7

Agora trate os pontos críticos:
  • Em x=-4 e x=3 o numerador é zero e o denominador é diferente de zero, então a expressão vale 0 nesses pontos e como temos \leq 0 devemos incluí-los.
  • Em x=-15 o denominador é zero, portanto a expressão é indefinida aí e x=-15 deve ser excluído.

Passo 8

Juntando as partes que satisfazem a desigualdade e respeitando inclusões/exclusões, a solução é
(-\infty,-15)\cup[-4,3].

Resposta

\,(-\infty,-15)\cup[-4,3]\,

Exercícios relacionados