Resolva as inequações.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
Informações dadas e perguntas claras:
- A expressão a ser estudada é
. - Precisa-se encontrar todos os valores de
que tornam essa expressão menor ou igual a zero. - Pontos importantes a anotar (não resolve ainda): há possíveis problemas onde os denominadores se anulam, ou seja em
e ; esses valores não pertencem ao domínio.
Passo 2
Vamos colocar as frações sobre um denominador comum para obter uma única razão, o que facilita a análise do sinal.
Denominador comum: .
Numerador resultante:
Denominador comum:
Numerador resultante:
Vamos expandir passo a passo:
Somando:
Portanto a inequação é equivalente (lembrando domínio) a
Passo 3
Determinar o domínio e os pontos críticos:
- Os denominadores se anulam em
e ; esses valores estão fora do domínio e não podem ser soluções. - Os zeros do numerador dão pontos onde a fração pode ser zero — esses pontos são candidatos a entrar na solução porque a desigualdade é “
”.
Passo 4
Achar os zeros do numerador
.
Usamos a fórmula quadrática. Para temos
Usamos a fórmula quadrática. Para
Aqui
,
,
. O discriminante é
Isto dá
Portanto o numerador se anula em
e
.
Passo 5
Organizar os pontos críticos em ordem crescente para montar o quadro de sinais:
Nesses pontos a expressão pode mudar de sinal (zeros do numerador ou do denominador). Agora vamos testar o sinal da fração em cada intervalo entre pontos críticos.
Passo 6
Método prático: escolho um ponto teste em cada intervalo e avalio o sinal de numerador e denominador separadamente. Pontos testes escolhidos:
.
- Para
(intervalo ):
- Numerador:
. - Denominador:
. - Fração:
. Conclusão: sinal positivo.
- Para
(intervalo ):
- Numerador:
. - Denominador:
. - Fração:
. Conclusão: sinal negativo.
- Para
(intervalo ):
- Numerador:
. - Denominador:
. - Fração:
. Conclusão: sinal positivo.
- Para
(intervalo ):
- Numerador:
. - Denominador:
. - Fração:
. Conclusão: sinal negativo.
- Para
(intervalo ):
- Numerador:
. - Denominador:
. - Fração:
. Conclusão: sinal positivo.
Resumo dos sinais por intervalo:
-
: positivo -
: negativo -
: positivo -
: negativo -
: positivo
Passo 7
Agora traduzimos isso para a inequação
.
- Onde a fração é negativa, as
satisfazem a inequação; - Onde a fração é zero (ou seja, numerador zero e denominador não zero), esses
também satisfazem a inequação porque é “ ”. - Pontos onde o denominador se anula (
) são excluídos.
Pelo quadro de sinais:
- Intervalo
é negativo → entra na solução. -
anula o numerador e denomina-dor é diferente de zero → entra na solução. - Intervalo
é positivo → não entra. -
anula o numerador e denomina-dor é diferente de zero → entra na solução. - Intervalo
é negativo → entra na solução. -
e são excluídos.
Unindo e escrevendo em notação de intervalos, a solução é