Resolva as inequações.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
Informações dadas e o que devemos encontrar:
- A expressão é uma razão de polinômios
. - Devemos encontrar todos os
que satisfazem a desigualdade . - Observação importante: a expressão só está definida quando o denominador é diferente de zero, ou seja
.
Passo 2
Passo natural: levar tudo para um único lado para obter uma única fração e estudar o sinal dela. Subtraindo
dos dois lados:
Colocando sob um denominador comum
,
Passo 3
Calcular o numerador:
Portanto a inequação fica
Passo 4
Fatorar numerador e denominador para facilitar a análise de sinais:
Assim temos
Passo 5
Identificar os pontos críticos (onde muda sinal): zeros do numerador e zeros do denominador.
- Zeros do numerador:
e . - Zeros do denominador (pontos onde a expressão é indefinida):
.
Ordenando-os na reta:.
Passo 6
Analisar o sinal em cada intervalo determinado pelos pontos críticos. Método: verificar o sinal de cada fator em um ponto teste de cada intervalo e multiplicar os sinais.
Fatores:
.
- Para
(ex.: ):
-
, , , .
Produto:no numerador = , denominador . Fração: . Não satisfaz.
- Para
(ex.: ):
-
, , , .
Numerador:. Denominador: . Fração: . Satisfaz.
- Para
(ex.: ):
-
, , , .
Numerador:. Denominador: . Fração: . Não satisfaz.
- Para
(ex.: ):
-
, , , .
Numerador:. Denominador: . Fração: . Satisfaz.
- Para
(ex.: ):
-
, , , .
Numerador:. Denominador: . Fração: . Não satisfaz.
Passo 7
Tratar igualdade e exclusões:
- Onde o numerador é zero (
) a fração vale . Como queremos , esses pontos são incluídos. - Onde o denominador é zero (
) a expressão é indefinida; portanto esses pontos são sempre excluídos.
Juntando os intervalos que deram sinal positivo e incluindo os zeros do numerador, obtemos a solução: