Resolva as inequações.
\frac{x^{2}+5}{x^{2}-4} \geq 5

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\frac{x^{2}+5}{x^{2}-4}\geq 5.
Informações dadas e o que devemos encontrar:
  • A expressão é uma razão de polinômios \dfrac{x^{2}+5}{x^{2}-4}.
  • Devemos encontrar todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem a desigualdade \geq 5.
  • Observação importante: a expressão só está definida quando o denominador é diferente de zero, ou seja x\neq \pm 2.

Passo 2

Passo natural: levar tudo para um único lado para obter uma única fração e estudar o sinal dela. Subtraindo 5 dos dois lados:
\frac{x^{2}+5}{x^{2}-4}-5 \geq 0.
Colocando sob um denominador comum \,x^{2}-4,
\frac{x^{2}+5-5(x^{2}-4)}{x^{2}-4}\geq0.

Passo 3

Calcular o numerador:
x^{2}+5-5(x^{2}-4)=x^{2}+5-5x^{2}+20=25-4x^{2}.
Portanto a inequação fica
\frac{25-4x^{2}}{x^{2}-4}\geq0.

Passo 4

Fatorar numerador e denominador para facilitar a análise de sinais:
25-4x^{2}=(5-2x)(5+2x), \qquad x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Assim temos
\frac{(5-2x)(5+2x)}{(x-2)(x+2)}\geq0.

Passo 5

Identificar os pontos críticos (onde muda sinal): zeros do numerador e zeros do denominador.
  • Zeros do numerador: 5-2x=0\Rightarrow x=\dfrac{5}{2} e 5+2x=0\Rightarrow x=-\dfrac{5}{2}.
  • Zeros do denominador (pontos onde a expressão é indefinida): x=\pm 2.
    Ordenando-os na reta: -\infty,\\\ -\dfrac{5}{2},\\\ -2,\\\ 2,\\ \dfrac{5}{2},\\\ +\infty.

Passo 6

Analisar o sinal em cada intervalo determinado pelos pontos críticos. Método: verificar o sinal de cada fator em um ponto teste de cada intervalo e multiplicar os sinais.
Fatores: 5-2x,\\\ 5+2x,\\ x-2,\\ x+2.
  1. Para x<-\dfrac{5}{2} (ex.: x=-3):
  • 5-2x>0, 5+2x<0, x-2<0, x+2<0.
    Produto: (+)\cdot(-) no numerador = (-), denominador (-) \cdot (-) = (+). Fração: (-)/(+)=(-). Não satisfaz.
  1. Para -\dfrac{5}{2}<x<-2 (ex.: x=-2{,}3):
  • 5-2x>0, 5+2x>0, x-2<0, x+2<0.
    Numerador: (+)\cdot(+)=+. Denominador: (-) \cdot (-)=+. Fração: +/+=+. Satisfaz.
  1. Para -2<x<2 (ex.: x=0):
  • 5-2x>0, 5+2x>0, x-2<0, x+2>0.
    Numerador: +. Denominador: (-) \cdot (+)=(-). Fração: + / - = -. Não satisfaz.
  1. Para 2<x<\dfrac{5}{2} (ex.: x=2{,}3):
  • 5-2x>0, 5+2x>0, x-2>0, x+2>0.
    Numerador: +. Denominador: +. Fração: +. Satisfaz.
  1. Para x>\dfrac{5}{2} (ex.: x=3):
  • 5-2x<0, 5+2x>0, x-2>0, x+2>0.
    Numerador: (-)\cdot(+)=(-). Denominador: +. Fração: -. Não satisfaz.

Passo 7

Tratar igualdade e exclusões:
  • Onde o numerador é zero ( x=\pm \dfrac{5}{2} ) a fração vale 0. Como queremos \geq 0, esses pontos são incluídos.
  • Onde o denominador é zero ( x=\pm 2 ) a expressão é indefinida; portanto esses pontos são sempre excluídos.
Juntando os intervalos que deram sinal positivo e incluindo os zeros do numerador, obtemos a solução:
\left[-\frac{5}{2},-2\right)\cup\left(2,\frac{5}{2}\right].

Resposta

\left[-\frac{5}{2},-2\right)\cup\left(2,\frac{5}{2}\right]

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