Resolva as inequações.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão é uma razão de duas expressões lineares: numerador
e denominador . - O denominador não pode ser zero, portanto
(ou seja, ). - A incógnita é
e devemos encontrar todos os que tornam a fração maior ou igual a zero.
Passo 2
Estratégia (explicação conceitual): para uma fração
valer
é necessário que
e
tenham o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos) ou que
(desde que
). Em símbolos:
Aqui
e
. Vou identificar os pontos em que
e
se anulam e usar um estudo de sinais intervalar.
Passo 3
Encontrei a raiz do numerador
:
Comentário didático: uma função linear
muda de sinal somente em sua raiz; o coeficiente de
(aqui
) indica a inclinação: como
, a expressão
é positiva para
, nula em
e negativa para
.
Passo 4
Encontrei a raiz do denominador
:
Comentário didático: o denominador zera em
; nesse ponto a fração é indefinida, então esse valor não pode pertencer à solução, mesmo que o numerador fosse zero (o que não é o caso aqui).
Passo 5
Dividi a reta real em intervalos usando os pontos críticos
e
:
Em cada intervalo o sinal de cada fator (
e
) é constante, então posso testar um valor em cada intervalo para determinar o sinal da fração.
Passo 6
Escolho um ponto teste em cada intervalo e calculo sinais:
-
Para
(que está em ): então a fraçãoé negativa nesse intervalo. -
Para
(que está em ): então a fração é positiva nesse intervalo. -
Para
(que está em ): então a fração é negativa nesse intervalo.
Passo 7
Conclusão a partir do estudo de sinais:
- A fração é negativa em
. - A fração é positiva em
. - A fração é negativa em
. - Em
a fração vale zero (pois o numerador zera e o denominador é ), então satisfaz a inequação . - Em
a expressão é indefinida, logo não entra na solução.
Portanto os
que satisfazem
são exatamente os de
.