Resolva as inequações.
\frac{4-5 x}{2 x-1} \geq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\frac{4-5x}{2x-1} \geq 0.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão é uma razão de duas expressões lineares: numerador 4-5x e denominador 2x-1.
  • O denominador não pode ser zero, portanto 2x-1 \neq 0 (ou seja, x \neq \tfrac{1}{2}).
  • A incógnita é x e devemos encontrar todos os x que tornam a fração maior ou igual a zero.

Passo 2

Estratégia (explicação conceitual): para uma fração \dfrac{A}{B} valer \geq 0 é necessário que A e B tenham o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos) ou que A=0 (desde que B\neq0). Em símbolos:
\frac{A}{B}\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad (A\cdot B>0)\\ \text{ou}\\ (A=0\\ \text{e}\\ B\neq0).
Aqui A=4-5x e B=2x-1. Vou identificar os pontos em que A e B se anulam e usar um estudo de sinais intervalar.

Passo 3

Encontrei a raiz do numerador A=4-5x:
4-5x=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{4}{5}.
Comentário didático: uma função linear ax+b muda de sinal somente em sua raiz; o coeficiente de x (aqui -5) indica a inclinação: como -5<0, a expressão 4-5x é positiva para x<\tfrac{4}{5}, nula em x=\tfrac{4}{5} e negativa para x>\tfrac{4}{5}.

Passo 4

Encontrei a raiz do denominador B=2x-1:
2x-1=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{1}{2}.
Comentário didático: o denominador zera em x=\tfrac{1}{2}; nesse ponto a fração é indefinida, então esse valor não pode pertencer à solução, mesmo que o numerador fosse zero (o que não é o caso aqui).

Passo 5

Dividi a reta real em intervalos usando os pontos críticos x=\tfrac{1}{2} e x=\tfrac{4}{5}:
(-\infty,\tfrac{1}{2}),\qquad (\tfrac{1}{2},\tfrac{4}{5}),\qquad (\tfrac{4}{5},\infty).
Em cada intervalo o sinal de cada fator ( 4-5x e 2x-1) é constante, então posso testar um valor em cada intervalo para determinar o sinal da fração.

Passo 6

Escolho um ponto teste em cada intervalo e calculo sinais:
  • Para x=0 (que está em (-\infty,\tfrac{1}{2})):
    4-5\cdot0=4>0,\qquad 2\cdot0-1=-1<0,
    então a fração \dfrac{4-5x}{2x-1} é negativa nesse intervalo.
  • Para x=\tfrac{3}{5}=0,6 (que está em (\tfrac{1}{2},\tfrac{4}{5})):
    4-5\cdot\frac{3}{5}=4-3=1>0,\qquad 2\cdot\frac{3}{5}-1=\frac{6}{5}-1=\frac{1}{5}>0,
    então a fração é positiva nesse intervalo.
  • Para x=1 (que está em (\tfrac{4}{5},\infty)):
    4-5\cdot1= -1<0,\qquad 2\cdot1-1=1>0,
    então a fração é negativa nesse intervalo.

Passo 7

Conclusão a partir do estudo de sinais:
  • A fração é negativa em (-\infty,\tfrac{1}{2}).
  • A fração é positiva em (\tfrac{1}{2},\tfrac{4}{5}).
  • A fração é negativa em (\tfrac{4}{5},\infty).
  • Em x=\tfrac{4}{5} a fração vale zero (pois o numerador zera e o denominador é 2\cdot\tfrac{4}{5}-1=\tfrac{3}{5}\neq0), então x=\tfrac{4}{5} satisfaz a inequação \ge 0.
  • Em x=\tfrac{1}{2} a expressão é indefinida, logo não entra na solução.
Portanto os x que satisfazem \dfrac{4-5x}{2x-1}\ge 0 são exatamente os de (\tfrac{1}{2},\tfrac{4}{5}].

Resposta

\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{4}{5}\right]

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