Resolva as inequações.
\frac{x-3}{2 x+6} \leq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\frac{x-3}{2x+6}\le 0.
Informações dadas e pontos importantes tirados do enunciado:
  • O numerador é (x-3). Ele se anula em x=3.
  • O denominador é 2x+6. Ele se anula em x=-3, portanto a expressão não está definida em x=-3.
  • Procuramos os x reais tais que a fração seja menor ou igual a zero (ou seja, negativa ou zero).
  • Observação útil: 2x+6=2(x+3). O fator 2 é sempre positivo, então o sinal da fração é o mesmo do quociente \dfrac{x-3}{x+3}.

Passo 2

Estratégia (explicada passo a passo): para inequações envolvendo uma fração racional do tipo \dfrac{\text{numerador}}{\text{denominador}}\le 0 o método mais direto é:
  1. Encontrar os pontos críticos — onde numerador ou denominador são zero (aqui: x=3 e x=-3).
  2. Dividir a reta real em intervalos determinados por esses pontos.
  3. Determinar o sinal da expressão em cada intervalo (pelo sinal dos fatores ou testando um ponto).
  4. Reunir os intervalos onde a expressão é negativa e incluir os pontos onde a expressão é igual a zero (apenas se estiverem no domínio).
Vou aplicar esse procedimento.

Passo 3

Encontrando os pontos críticos:
  • Numerador zero: x-3=0 \Rightarrow x=3.
  • Denominador zero: 2x+6=0 \Rightarrow x=-3 (ponto fora do domínio).
Portanto os intervalos a testar são:
(-\infty,-3),\quad (-3,3),\quad (3,\infty).

Passo 4

Determinação do sinal em cada intervalo — explicando como pensar no sinal sem pular etapas:
Podemos usar que 2x+6=2(x+3) e que o 2 é positivo, então o sinal da fração é igual ao sinal de \dfrac{x-3}{x+3}. Para cada intervalo, analisamos o sinal de x-3 e de x+3.
  1. Para x<-3 (por exemplo x=-4):
  • x-3=-4-3=-7<0.
  • x+3=-4+3=-1<0.
    Produto/Quociente: negativo dividido por negativo é positivo. Logo \dfrac{x-3}{2x+6}>0 para x<-3.
  1. Para -3<x<3 (por exemplo x=0):
  • x-3=0-3=-3<0.
  • x+3=0+3=3>0.
    Negativo dividido por positivo é negativo. Logo \dfrac{x-3}{2x+6}<0 para -3<x<3.
  1. Para x>3 (por exemplo x=4):
  • x-3=4-3=1>0.
  • x+3=4+3=7>0.
    Positivo dividido por positivo é positivo. Logo \dfrac{x-3}{2x+6)>0 para x>3.
Também verifique os pontos críticos:
  • Em x=3 o numerador é zero e o denominador é 2\cdot3+6=12\neq0, então a fração vale 0 em x=3 — esse ponto satisfaz a desigualdade \le 0.
  • Em x=-3 o denominador é zero, então a expressão não está definida e não pode ser incluída.

Passo 5

Juntando tudo: queremos os x onde a fração é menor ou igual a zero. Pelos sinais obtidos:
  • Nos intervalos (-\infty,-3) e (3,\infty) a expressão é positiva — esses não entram.
  • No intervalo (-3,3) a expressão é negativa — esse entra.
  • Em x=3 a expressão é zero — entra.
  • x=-3 não entra (indefinido).
Portanto o conjunto solução é o intervalo
(-3,3].

Resposta

(-3,3]

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