Resolva as inequações.
\frac{3 x-2}{5-2 x} \geq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\frac{3x-2}{5-2x}\geq 0.
Informações dadas pelo enunciado:
  • A expressão é uma fração cujo numerador é 3x-2 e o denominador é 5-2x.
  • A solução deve ser o conjunto de todos os valores de x que tornam essa fração maior ou igual a zero.

Passo 2

Estratégia e conceitos importantes (sem resolver ainda): para uma inequação envolvendo uma fração racional do tipo \dfrac{N(x)}{D(x)}\geq 0 (com N e D funções reais), os pontos críticos são as raízes do numerador e as raízes do denominador.
  • Raízes do numerador são onde a fração pode ser zero (se o denominador não for zero).
  • Raízes do denominador são onde a fração é indefinida (esses pontos nunca podem ser incluídos na solução).
    Entre esses pontos críticos, o sinal da fração é constante; portanto faz-se uma análise de sinal por intervalos.

Passo 3

Encontre os pontos críticos calculando as raízes do numerador e do denominador.
Raiz do numerador:
3x-2=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{2}{3}.
Raiz do denominador:
5-2x=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{5}{2}.
Portanto os pontos críticos são x=\dfrac{2}{3} e x=\dfrac{5}{2}.

Passo 4

Monte os intervalos determinados pelos pontos críticos e teste o sinal da fração em cada intervalo. Os intervalos são:
\left(-\infty,\frac{2}{3}\right),\qquad \left(\frac{2}{3},\frac{5}{2}\right),\qquad \left(\frac{5}{2},\infty\right).
Escolhendo um ponto teste em cada intervalo:
  • Para x=0 (no intervalo \left(-\infty,\tfrac{2}{3}\right)):
\frac{3\cdot 0-2}{5-2\cdot 0}=\frac{-2}{5}<0.
Logo a fração é negativa nesse intervalo.
  • Para x=1 (no intervalo \left(\tfrac{2}{3},\tfrac{5}{2}\right)):
\frac{3\cdot 1-2}{5-2\cdot 1}=\frac{1}{3}>0.
Logo a fração é positiva nesse intervalo.
  • Para x=3 (no intervalo \left(\tfrac{5}{2},\infty\right)):
\frac{3\cdot 3-2}{5-2\cdot 3}=\frac{7}{-1}<0.
Logo a fração é negativa nesse intervalo.

Passo 5

Determine inclusão dos pontos críticos:
  • Em x=\dfrac{2}{3} temos numerador zero e denominador diferente de zero. Calculando:
\frac{3\cdot\frac{2}{3}-2}{5-2\cdot\frac{2}{3}}=\frac{2-2}{5-\tfrac{4}{3}}=\frac{0}{\tfrac{11}{3}}=0.
Como a inequação é \geq 0, x=\dfrac{2}{3} deve ser incluído na solução.
  • Em x=\dfrac{5}{2} o denominador é zero, portanto a fração é indefinida e x=\dfrac{5}{2} não pode entrar na solução.
Juntando com os sinais dos intervalos, a fração é não negativa (positiva ou zero) apenas em
\left[\frac{2}{3},\frac{5}{2}\right).

Resposta

\left[\dfrac{2}{3},\dfrac{5}{2}\right)

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