Resolva as inequações.
Passo 1
O que o enunciado pede: resolver a inequação
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A expressão é uma fração racional com numerador
e denominador . - Deve-se lembrar que
não está no domínio porque anula o denominador.
O objetivo concreto é encontrar todos os valores dereais que satisfaçam a desigualdade.
Passo 2
Colocar tudo num único lado para estudar o sinal (sempre uma boa estratégia em inequações racionais):
Fazer uma única fração com denominador comum
:
Calcular o numerador passo a passo:
Logo a inequação fica
Passo 3
Simplificar sabendo que
não altera o sinal da fração, portanto podemos dividir ambos os lados por
sem mudar a desigualdade:
Identificar os pontos críticos (onde numerador ou denominador se anulam):
- Numerador zero em
(aqui a expressão é zero, que pode satisfazer ). - Denominador zero em
(aqui a expressão não está definida, então deve ser excluído).
Passo 4
Fazer análise de sinal usando os pontos críticos
e
. Eles dividem a reta em três intervalos:
,
e
. Testar um ponto em cada intervalo para determinar o sinal de
.
- Para
:
Então a expressão é negativa nesse intervalo.
- Para
:
Então a expressão é positiva nesse intervalo.
- Para
:
Então a expressão é negativa nesse intervalo.
Passo 5
Interpretar a desigualdade
:
- Queremos onde a expressão é positiva ou zero.
- Pelos testes, a expressão é positiva em
. - Em
o numerador zera, então a expressão vale e deve ser incluído (porque ). - Em
a expressão não está definida, portanto é excluído.
Portanto a solução é o intervalo
.
Passo 6
Pequena checagem de plausibilidade (sempre bom para a prova):
- Tomar
, deve satisfazer: (ok). - Tomar
, não deve satisfazer: (ok).