Resolva as inequações.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
Informações dadas e o que é pedido:
- Encontrar todos os números reais
que satisfazem a desigualdade acima. - Observação imediata:
porque o denominador não pode ser zero. - A desigualdade é do tipo racional (fração) com sinal “
” (igualdade permitida quando a expressão for zero).
Passo 2
Primeiro passo algébrico padrão: colocar tudo em um único membro, reduzindo a inequação a uma única fração comparada com zero. Subtraindo
dos dois lados obtemos
Passo 3
Colocar as parcelas sobre o mesmo denominador e simplificar o numerador. Fazendo a subtração como uma única fração:
Agora expandir e simplificar o numerador:
Portanto a inequação é equivalente a
Passo 4
Interpretando a nova expressão: para saber onde a fração é maior ou igual a zero precisamos conhecer os pontos em que numerador ou denominador se anulam, pois esses pontos dividem a reta em intervalos onde o sinal da fração é constante.
- O numerador
anula-se quando , isto é em . - O denominador
anula-se em , mas esse ponto é proibido (a expressão não está definida em ).
Assim os pontos críticos são
e
; eles partem a reta em três intervalos:
,
e
.
Passo 5
Agora fazemos um estudo de sinais (tabela mental) avaliando o sinal do numerador e do denominador em cada intervalo e, consequentemente, o sinal da fração
. Vou escolher um valor teste em cada intervalo:
-
Para
tome . - Numerador:
. - Denominador:
. - Fração:
dividido por é . Logo a fração é negativa em .
- Numerador:
-
Para
tome . - Numerador:
. - Denominador:
. - Fração:
dividido por é . Logo a fração é positiva em .
- Numerador:
-
Para
tome . - Numerador:
. - Denominador:
. - Fração:
dividido por é . Logo a fração é negativa em .
- Numerador:
Também verificar os pontos críticos:
- Em
o numerador é zero e o denominador é , então a fração vale em . Como a desigualdade é “ ”, é permitido. - Em
a fração não está definida, portanto não pode ser incluído.
Passo 6
Juntando as informações: queremos os
onde
, isto é onde a fração é positiva ou zero.
- A fração é positiva em
. - A fração é zero em
. - A fração é negativa em
e .
Portanto o conjunto solução é