Resolva as inequações.
\frac{2 x-7}{x-2} \geq 3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\frac{2x-7}{x-2} \ge 3.
Informações dadas e o que é pedido:
  • Encontrar todos os números reais x que satisfazem a desigualdade acima.
  • Observação imediata: x\neq 2 porque o denominador x-2 não pode ser zero.
  • A desigualdade é do tipo racional (fração) com sinal “ \ge” (igualdade permitida quando a expressão for zero).

Passo 2

Primeiro passo algébrico padrão: colocar tudo em um único membro, reduzindo a inequação a uma única fração comparada com zero. Subtraindo 3 dos dois lados obtemos
\frac{2x-7}{x-2}-3 \ge 0.

Passo 3

Colocar as parcelas sobre o mesmo denominador e simplificar o numerador. Fazendo a subtração como uma única fração:
\frac{2x-7}{x-2}-3=\frac{2x-7-3(x-2)}{x-2}.
Agora expandir e simplificar o numerador:
2x-7-3(x-2)=2x-7-3x+6=-x-1.
Portanto a inequação é equivalente a
\frac{-x-1}{x-2} \ge 0.

Passo 4

Interpretando a nova expressão: para saber onde a fração é maior ou igual a zero precisamos conhecer os pontos em que numerador ou denominador se anulam, pois esses pontos dividem a reta em intervalos onde o sinal da fração é constante.
  • O numerador -x-1 anula-se quando -x-1=0, isto é em x=-1.
  • O denominador x-2 anula-se em x=2, mas esse ponto é proibido (a expressão não está definida em x=2).
Assim os pontos críticos são x=-1 e x=2; eles partem a reta em três intervalos: (-\infty,-1), (-1,2) e (2,\infty).

Passo 5

Agora fazemos um estudo de sinais (tabela mental) avaliando o sinal do numerador e do denominador em cada intervalo e, consequentemente, o sinal da fração \dfrac{-x-1}{x-2}. Vou escolher um valor teste em cada intervalo:
  • Para x\in(-\infty,-1) tome x=-2.
    • Numerador: -(-2)-1=2-1=1>0.
    • Denominador: -2-2=-4<0.
    • Fração: + dividido por - é -. Logo a fração é negativa em (-\infty,-1).
  • Para x\in(-1,2) tome x=0.
    • Numerador: -0-1=-1<0.
    • Denominador: 0-2=-2<0.
    • Fração: - dividido por - é +. Logo a fração é positiva em (-1,2).
  • Para x\in(2,\infty) tome x=3.
    • Numerador: -3-1=-4<0.
    • Denominador: 3-2=1>0.
    • Fração: - dividido por + é -. Logo a fração é negativa em (2,\infty).
Também verificar os pontos críticos:
  • Em x=-1 o numerador é zero e o denominador é -1-2=-3\neq0, então a fração vale 0 em x=-1. Como a desigualdade é “ \ge”, x=-1 é permitido.
  • Em x=2 a fração não está definida, portanto x=2 não pode ser incluído.

Passo 6

Juntando as informações: queremos os x onde \dfrac{-x-1}{x-2}\ge0, isto é onde a fração é positiva ou zero.
  • A fração é positiva em (-1,2).
  • A fração é zero em x=-1.
  • A fração é negativa em (-\infty,-1) e (2,\infty).
Portanto o conjunto solução é
[-1,2).

Resposta

[-1,2)

Exercícios relacionados