Resolva as inequações.
\frac{5 x}{x-4} \geq 10

Passo 1

O que o enunciado pede: resolver a inequação \dfrac{5x}{x-4}\geq 10.
Informações dadas:
  • A expressão é uma fração racional com numerador 5x e denominador x-4.
  • Deve-se lembrar que x=4 não está no domínio porque anula o denominador.
    O objetivo concreto é encontrar todos os valores de x reais que satisfaçam a desigualdade.

Passo 2

Colocar tudo num único lado para estudar o sinal (sempre uma boa estratégia em inequações racionais):
\frac{5x}{x-4}-10 \geq 0.
Fazer uma única fração com denominador comum x-4:
\frac{5x-10(x-4)}{x-4} \geq 0.
Calcular o numerador passo a passo:
5x-10(x-4)=5x-10x+40=-5x+40=5(8-x).
Logo a inequação fica
\frac{5(8-x)}{x-4}\geq 0.

Passo 3

Simplificar sabendo que 5>0 não altera o sinal da fração, portanto podemos dividir ambos os lados por 5 sem mudar a desigualdade:
\frac{8-x}{x-4}\geq 0.
Identificar os pontos críticos (onde numerador ou denominador se anulam):
  • Numerador zero em x=8 (aqui a expressão é zero, que pode satisfazer \geq 0).
  • Denominador zero em x=4 (aqui a expressão não está definida, então x=4 deve ser excluído).

Passo 4

Fazer análise de sinal usando os pontos críticos x=4 e x=8. Eles dividem a reta em três intervalos: (-\infty,4), (4,8) e (8,\infty). Testar um ponto em cada intervalo para determinar o sinal de \dfrac{8-x}{x-4}.
  • Para x=0\in(-\infty,4):
\frac{8-0}{0-4}=\frac{8}{-4}=-2<0.
Então a expressão é negativa nesse intervalo.
  • Para x=5\in(4,8):
\frac{8-5}{5-4}=\frac{3}{1}=3>0.
Então a expressão é positiva nesse intervalo.
  • Para x=9\in(8,\infty):
\frac{8-9}{9-4}=\frac{-1}{5}=-\frac{1}{5}<0.
Então a expressão é negativa nesse intervalo.

Passo 5

Interpretar a desigualdade \dfrac{8-x}{x-4}\geq 0:
  • Queremos onde a expressão é positiva ou zero.
  • Pelos testes, a expressão é positiva em (4,8).
  • Em x=8 o numerador zera, então a expressão vale 0 e x=8 deve ser incluído (porque \geq 0).
  • Em x=4 a expressão não está definida, portanto x=4 é excluído.
Portanto a solução é o intervalo (4,8].

Passo 6

Pequena checagem de plausibilidade (sempre bom para a prova):
  • Tomar x=6, deve satisfazer: \dfrac{5\cdot 6}{6-4}=\dfrac{30}{2}=15\geq10 (ok).
  • Tomar x=10, não deve satisfazer: \dfrac{5\cdot 10}{10-4}=\dfrac{50}{6}\approx8{,}33<10 (ok).

Resposta

(4,8]

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