Resolva as inequações.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação racional
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão é uma fração racional com numerador
e denominador . - O domínio exige
(pois anula o denominador e a expressão fica indefinida). - A tarefa é encontrar todos os
que satisfazem a desigualdade acima.
Passo 2
Transformar a inequação para uma única fração e analisar o sinal dessa fração é uma maneira direta. Primeiro passo: passar tudo para o lado esquerdo para comparar com zero:
Colocar na mesma fração, tendo o mesmo denominador
:
Somando numeradores:
Calcular o numerador com calma (não pule etapas):
Logo a inequação fica
Passo 3
Simplificar fator comum no numerador. Observa-se que
. Como
, dividir ambos os lados da desigualdade por
não altera o sentido da desigualdade. Assim obtemos a inequação equivalente mais simples:
Agora identificamos os pontos críticos (onde o sinal pode mudar):
- Numerador zero quando
, isto é, em . Nesse ponto a fração vale . - Denominador zero quando
, isto é, em . Nesse ponto a expressão é indefinida (portanto não pode pertencer à solução).
Passo 4
Fazer análise de sinais por intervalos determinados pelos pontos críticos
e
. Esses pontos dividem a reta em três intervalos:
,
e
.
Analisar o sinal de cada fator em cada intervalo:
- Fator
: - Se
então . - Se
então .
- Se
- Fator
: - Se
então . - Se
então .
- Se
Agora o sinal da fração
em cada intervalo (produto dos sinais dos fatores):
- Para
: e ⇒ fração negativa. - Para
: e ⇒ fração positiva. - Para
: e ⇒ fração negativa.
Também vale lembrar:
- Em
a fração vale , o que satisfaz a desigualdade . - Em
a expressão é indefinida, portanto não pode ser incluído.
Para conferir com números:
- Tomando
(no intervalo ): . - Tomando
(no intervalo ): . - Tomando
(no intervalo ): .
Passo 5
Interpretando a análise de sinais: a fração é não negativa apenas no intervalo onde obtemos sinal positivo ou zero, isto é, para valores de
estritamente maiores que
e até
inclusive, lembrando que
está excluído por tornar a expressão indefinida.