Resolva as inequações.
\frac{6-x}{x-4} \geq 1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
\frac{6-x}{x-4} \geq 1.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão é uma fração racional com numerador 6-x e denominador x-4.
  • O domínio exige x \neq 4 (pois x=4 anula o denominador e a expressão fica indefinida).
  • A tarefa é encontrar todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem a desigualdade acima.

Passo 2

Transformar a inequação para uma única fração e analisar o sinal dessa fração é uma maneira direta. Primeiro passo: passar tudo para o lado esquerdo para comparar com zero:
\frac{6-x}{x-4} - 1 \geq 0.
Colocar na mesma fração, tendo o mesmo denominador x-4:
\frac{6-x}{x-4} - \frac{x-4}{x-4} \geq 0.
Somando numeradores:
\frac{6-x - (x-4)}{x-4} \geq 0.
Calcular o numerador com calma (não pule etapas):
6-x - (x-4) = 6 - x - x + 4 = 10 - 2x.
Logo a inequação fica
\frac{10 - 2x}{x-4} \geq 0.

Passo 3

Simplificar fator comum no numerador. Observa-se que 10-2x = 2(5-x). Como 2>0, dividir ambos os lados da desigualdade por 2 não altera o sentido da desigualdade. Assim obtemos a inequação equivalente mais simples:
\frac{5-x}{x-4} \geq 0.
Agora identificamos os pontos críticos (onde o sinal pode mudar):
  • Numerador zero quando 5 - x = 0, isto é, em x = 5. Nesse ponto a fração vale 0.
  • Denominador zero quando x - 4 = 0, isto é, em x = 4. Nesse ponto a expressão é indefinida (portanto x=4 não pode pertencer à solução).

Passo 4

Fazer análise de sinais por intervalos determinados pelos pontos críticos x=4 e x=5. Esses pontos dividem a reta em três intervalos: (-\infty,4), (4,5) e (5,\infty).
Analisar o sinal de cada fator em cada intervalo:
  • Fator 5-x:
    • Se x<5 então 5-x>0.
    • Se x>5 então 5-x<0.
  • Fator x-4:
    • Se x<4 então x-4<0.
    • Se x>4 então x-4>0.
Agora o sinal da fração \dfrac{5-x}{x-4} em cada intervalo (produto dos sinais dos fatores):
  • Para x<4: 5-x>0 e x-4<0 ⇒ fração negativa.
  • Para 4<x<5: 5-x>0 e x-4>0 ⇒ fração positiva.
  • Para x>5: 5-x<0 e x-4>0 ⇒ fração negativa.
Também vale lembrar:
  • Em x=5 a fração vale 0, o que satisfaz a desigualdade \geq 0.
  • Em x=4 a expressão é indefinida, portanto x=4 não pode ser incluído.
Para conferir com números:
  • Tomando x=0 (no intervalo (-\infty,4)): \dfrac{5-0}{0-4}=\dfrac{5}{-4}<0.
  • Tomando x=4{,}5 (no intervalo (4,5)): \dfrac{5-4{,}5}{4{,}5-4}=\dfrac{0{,}5}{0{,}5}=1>0.
  • Tomando x=6 (no intervalo (5,\infty)): \dfrac{5-6}{6-4}=\dfrac{-1}{2}<0.

Passo 5

Interpretando a análise de sinais: a fração é não negativa apenas no intervalo onde obtemos sinal positivo ou zero, isto é, para valores de x estritamente maiores que 4 e até 5 inclusive, lembrando que x=4 está excluído por tornar a expressão indefinida.

Resposta

(4,5]

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