Resolva as inequações.
Passo 1
O enunciado pede resolver a inequação
Informações dadas:
- A inequação envolve uma expressão racional (fração) com variável
. - O que se pede é o conjunto de valores de
que tornam essa desigualdade verdadeira.
Passo 2
Primeiro passo técnico: identificar o domínio (valores que tornam a expressão bem definida). A expressão tem denominador
, então devemos excluir os
que anulam esse denominador:
Ou seja, a expressão não está definida em
.
Passo 3
Colocar tudo num único membro (formatar como uma única fração) para poder estudar sinais. Subtraio
de ambos os lados:
Agora escrevo a diferença como uma única fração com denominador comum
:
Passo 4
Calcular e simplificar o numerador. Expando
e faço a subtração:
Portanto a inequação fica
Passo 5
Analisar o numerador
. Para saber onde muda de sinal, calculo as raízes (se houver) usando o discriminante:
Como
, a quadrática
não tem raízes reais; portanto ela não se anula para nenhum
. Como o coeficiente do termo quadrático é
, concluímos que
Ou seja, o numerador é sempre negativo (nunca zero).
Passo 6
Agora raciocínio sobre o sinal da fração
. Como
é sempre negativo, o sinal da fração é o oposto do sinal do denominador
:
- Se
então . - Se
então .
Também note que a fração nunca pode ser igual a zero porquepara todo .
Queremos
. Como igualdade não ocorre, isso reduz-se a procurar onde a fração é positiva:
Resolver
:
Passo 7
Juntar tudo com o domínio: a condição obtida é
, e lembrando que
já estava excluído do domínio, não há ponto de fronteira a incluir. Portanto a solução da inequação é