Resolva as inequações.
\frac{4-2 x}{x^{2}-4} \leq 3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\frac{4-2x}{x^{2}-4} \leq 3.
Informações dadas e o que se quer:
  • A expressão envolve uma função racional com denominador x^{2}-4.
  • O objetivo é encontrar todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem a inequação acima.
  • Importante: o domínio da expressão original exclui pontos onde o denominador é zero, isto é, x\neq \pm 2. Esses pontos não podem ser soluções porque a expressão não está definida neles.

Passo 2

Primeiro passo técnico: levar tudo para um único lado e escrever a inequação como uma única fração. Subtraindo 3 dos dois lados:
\frac{4-2x}{x^{2}-4}-3 \le 0.
Colocando sobre o mesmo denominador x^{2}-4:
\frac{4-2x-3(x^{2}-4)}{x^{2}-4} \le 0.
Agora calculo o numerador cuidadosamente:
4-2x-3(x^{2}-4)=4-2x-3x^{2}+12=-3x^{2}-2x+16.
Portanto a inequação fica
\frac{-3x^{2}-2x+16}{x^{2}-4} \le 0.

Passo 3

Para facilitar a análise é comum tirar o sinal negativo do numerador (isso troca o sentido da desigualdade). Multiplicando numerador e denominador por -1 (ou, equivalentemente, multiplicando toda a inequação por -1) inverte-se a desigualdade:
\frac{3x^{2}+2x-16}{x^{2}-4} \ge 0.
Explico rápido por que: se A \le 0 então -A \ge 0. Essa operação não altera os pontos em que a expressão está indefinida (a condição x\neq\pm2 continua válida).

Passo 4

Agora fatoro numerador e denominador para identificar zeros e sinais. Denominador:
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Numerador: calculo o discriminante para fatorar 3x^{2}+2x-16.
\Delta=2^{2}-4\cdot3\cdot(-16)=4+192=196=14^{2}.
Assim as raízes são
x=\frac{-2\pm14}{6} \Rightarrow x=2 \quad\text{e}\quad x=-\frac{8}{3}.
Logo o numerador fatora como
3x^{2}+2x-16=(x-2)(3x+8).
Substituindo:
\frac{3x^{2}+2x-16}{x^{2}-4}=\frac{(x-2)(3x+8)}{(x-2)(x+2)}.

Passo 5

Observação importante sobre cancelamento: há um fator comum (x-2) no numerador e no denominador, mas x=2 torna o denominador zero na expressão original, portanto x=2 é ponto excluído do domínio (não podemos incluir x=2 mesmo que a expressão simplificada pareça finita). Cancelo o fator comum para analisar o sinal em x\neq2:
\frac{(x-2)(3x+8)}{(x-2)(x+2)}=\frac{3x+8}{x+2},\qquad x\neq 2.
Mantém-se também x\neq -2 porque aí o denominador da expressão original é zero. Assim, para x\neq\pm2 a inequação original é equivalente a
\frac{3x+8}{x+2} \ge 0.
Lembro: mesmo que a simplificação dê um valor em x=2, esse x continua proibido.

Passo 6

Resolvo a inequação \dfrac{3x+8}{x+2}\ge 0 por análise de sinais. Os pontos críticos (onde numerador ou denominador são zero) são:
  • numerador zero em x=-\dfrac{8}{3},
  • denominador zero em x=-2,
  • lembrar que x=2 também é excluído (pela etapa anterior), embora já não apareça no simplificado como zero do denominador; é um ponto de descontinuidade removível no processo de fatoração.
Ordenando os pontos na reta: -\infty,\\\ -\dfrac{8}{3},\\\ -2,\\\ 2,\\\ +\infty.
Agora faço tabela de sinais testando um valor em cada intervalo.
  1. Intervalo x<-\dfrac{8}{3} (ex.: x=-3):
3x+8=3(-3)+8=-9+8=-1\\ (<0),\qquad x+2=-3+2=-1\\ (<0).
Quociente: (<0)/( <0)= >0. Portanto a inequação \ge0 é satisfeita neste intervalo.
  1. Intervalo -\dfrac{8}{3}<x<-2 (ex.: x=-2{,}5):
3x+8=3(-2{,}5)+8=-7{,}5+8=0{,}5\\ (>0),\qquad x+2=-2{,}5+2=-0{,}5\\ (<0).
Quociente: (>0)/( <0)= <0. Então a inequação não é satisfeita aqui.
  1. Intervalo -2<x<2 (ex.: x=0):
3x+8=8\\ (>0),\qquad x+2=2\\ (>0).
Quociente: >0. Satisfeito. Lembrar que x=-2 é excluído.
  1. Intervalo x>2 (ex.: x=3):
3x+8=17\\ (>0),\qquad x+2=5\\ (>0).
Quociente: >0. Satisfeito. Lembrar que x=2 é excluído.
Agora verifico os pontos críticos:
  • x=-\dfrac{8}{3}: numerador zero e denominador não zero ( -\dfrac{8}{3}+2=-\dfrac{2}{3}\neq0), portanto a fração vale 0 aqui e como queremos \ge0 incluímos x=-\dfrac{8}{3}.
  • x=-2: denominador zero na expressão original, então x=-2 é excluído.
  • x=2: também excluído (denominador zero na expressão original), mesmo que na simplificação esse zero tenha sido cancelado.

Passo 7

Reunindo os intervalos onde a desigualdade é satisfeita e respeitando exclusões, obtemos a solução:
(-\infty,\\\ -\tfrac{8}{3}] \\ \cup\\ (-2,2)\\ \cup\\ (2,\infty).

Resposta

\;(-\infty,-\tfrac{8}{3}]\cup(-2,2)\cup(2,\infty)

Exercícios relacionados