Resolva as inequações.
\frac{x-5}{2 x-5} \geq x

Passo 1

O enunciado pede resolver a inequação
\frac{x-5}{2x-5} \geq x.
Informações dadas:
  • A inequação envolve uma expressão racional (fração) com variável x.
  • O que se pede é o conjunto de valores de x que tornam essa desigualdade verdadeira.

Passo 2

Primeiro passo técnico: identificar o domínio (valores que tornam a expressão bem definida). A expressão tem denominador 2x-5, então devemos excluir os x que anulam esse denominador:
2x-5 \neq 0 \quad\Rightarrow\quad x \neq \frac{5}{2}.
Ou seja, a expressão não está definida em x=\dfrac{5}{2}.

Passo 3

Colocar tudo num único membro (formatar como uma única fração) para poder estudar sinais. Subtraio x de ambos os lados:
\frac{x-5}{2x-5}-x \ge 0.
Agora escrevo a diferença como uma única fração com denominador comum 2x-5:
\frac{x-5}{2x-5}-x = \frac{x-5 - x(2x-5)}{2x-5}.

Passo 4

Calcular e simplificar o numerador. Expando x(2x-5) e faço a subtração:
x-5 - x(2x-5) = x-5 - (2x^2-5x) = x-5 -2x^2 +5x = -2x^2 +6x -5.
Portanto a inequação fica
\frac{-2x^2 +6x -5}{2x-5} \ge 0.

Passo 5

Analisar o numerador N(x)=-2x^2+6x-5. Para saber onde muda de sinal, calculo as raízes (se houver) usando o discriminante:
\Delta = b^2-4ac = 6^2 - 4(-2)(-5) = 36 - 40 = -4.
Como \Delta<0, a quadrática N(x) não tem raízes reais; portanto ela não se anula para nenhum x\in\mathbb{R}. Como o coeficiente do termo quadrático é a=-2<0, concluímos que
N(x) < 0 \quad\text{para todo } x\in\mathbb{R}.
Ou seja, o numerador é sempre negativo (nunca zero).

Passo 6

Agora raciocínio sobre o sinal da fração \dfrac{N(x)}{2x-5}. Como N(x) é sempre negativo, o sinal da fração é o oposto do sinal do denominador D(x)=2x-5:
  • Se D(x)>0 então \dfrac{N(x)}{D(x)}<0.
  • Se D(x)<0 então \dfrac{N(x)}{D(x)}>0.
    Também note que a fração nunca pode ser igual a zero porque N(x)\neq 0 para todo x.
Queremos \dfrac{N(x)}{2x-5} \ge 0. Como igualdade não ocorre, isso reduz-se a procurar onde a fração é positiva:
\frac{N(x)}{2x-5} > 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 2x-5 < 0.
Resolver 2x-5<0:
2x-5<0 \quad\Rightarrow\quad x<\frac{5}{2}.

Passo 7

Juntar tudo com o domínio: a condição obtida é x<\dfrac{5}{2}, e lembrando que x=\dfrac{5}{2} já estava excluído do domínio, não há ponto de fronteira a incluir. Portanto a solução da inequação é
(-\infty,\tfrac{5}{2}).

Resposta

(-\infty,\tfrac{5}{2})

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