Resolva as inequações.
Passo 1
O enunciado pede resolver a inequação
Informações dadas e observações iniciais:
- A desigualdade envolve uma expressão racional com denominador
. - É imprescindível lembrar que
porque aí o denominador zera e a expressão não está definida. - Objetivo: encontrar todos os valores de
(com ) que tornam verdadeira a desigualdade acima.
Passo 2
Primeiro passo técnico: colocar tudo num único membro, subtraindo
de ambos os lados para obter uma única fração. Escrevendo isso em forma de fração com denominador comum
:
Colocando sobre o mesmo denominador:
Passo 3
Agora expandir o produto que aparece no numerador. Calcular
:
Substituindo no numerador:
Passo 4
Simplificar o numerador passo a passo:
Fatorando
: primeiro fatorar o polinômio positivo
:
Portanto
A inequação fica
Passo 5
Para trabalhar mais confortavelmente com os sinais, multiplicar numerador e denominador por
(ou simplesmente observar que dividir a expressão por
inverte o sinal da desigualdade). Logo a inequação é equivalente a
Explicação didática: multiplicar ambos os lados de uma desigualdade por
troca
por
. Aqui apenas removemos o sinal negativo do numerador e invertimos a desigualdade.
Passo 6
Identificar pontos críticos que mudam o sinal da expressão racional:
- Zeros do numerador:
e (a expressão vale 0 nesses pontos). - Zeros do denominador:
(a expressão é indefinida aí; não pode ser solução).
Portanto os pontos que dividem a reta em intervalos são. Vamos analisar o sinal da função
em cada intervalo formado por esses pontos.
Passo 7
Método do quadro de sinais (explicando como fazer na prova): escolher um valor-teste em cada intervalo e verificar o sinal de cada fator
,
e
; o sinal da fração é o produto desses sinais.
Intervalos a testar:
,
,
,
.
-
Para
(por exemplo ): -
, , . - Produto numerador:
; dividir por denom negativo dá resultado . - Logo
nesse intervalo.
-
-
Para
(por exemplo ): -
, , . - Numerador:
; dividir por mantém . - Logo
nesse intervalo.
-
-
Para
(por exemplo ): -
, , . - Numerador:
; dividir por mantém . - Logo
nesse intervalo.
-
-
Para
(por exemplo ): -
, , . - Numerador:
; dividir por mantém . - Logo
nesse intervalo.
-
Passo 8
Interpretar o requisito
: precisamos dos intervalos onde
é positivo ou zero.
- Intervallo onde é positivo:
e . - Zeros incluídos porque a desigualdade é
: e tornam e são permitidos (desde que o denominador não zere). - O ponto
não pode ser incluído porque o denominador zera ali e a expressão original não está definida.
Portanto, as soluções são os
em
e em
.
Passo 9
Verificação rápida com pontos:
-
(está em ): verificar na expressão original dá , verdade. -
(está em , que não é solução): dá , falso. -
(está em ): dá , verdade.
Esses testes confirmam a classificação dos intervalos feita acima.