Resolva as inequações.
\frac{4 x-7}{x+2} \leq x-2

Passo 1

O enunciado pede resolver a inequação
\frac{4x-7}{x+2} \leq x-2.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A desigualdade envolve uma expressão racional com denominador x+2.
  • É imprescindível lembrar que x\neq -2 porque aí o denominador zera e a expressão não está definida.
  • Objetivo: encontrar todos os valores de x (com x\neq -2) que tornam verdadeira a desigualdade acima.

Passo 2

Primeiro passo técnico: colocar tudo num único membro, subtraindo x-2 de ambos os lados para obter uma única fração. Escrevendo isso em forma de fração com denominador comum x+2:
\frac{4x-7}{x+2} - (x-2) \leq 0.
Colocando sobre o mesmo denominador:
\frac{4x-7 - (x-2)(x+2)}{x+2} \leq 0.

Passo 3

Agora expandir o produto que aparece no numerador. Calcular (x-2)(x+2):
(x-2)(x+2) = x^2 - 4.
Substituindo no numerador:
\frac{4x-7 - (x^2-4)}{x+2} \leq 0.

Passo 4

Simplificar o numerador passo a passo:
4x-7 - (x^2-4) = 4x-7 - x^2 + 4 = -x^2 + 4x -3.
Fatorando -x^2 +4x -3: primeiro fatorar o polinômio positivo x^2-4x+3:
x^2-4x+3 = (x-1)(x-3).
Portanto
-x^2 +4x -3 = - (x-1)(x-3).
A inequação fica
\frac{-(x-1)(x-3)}{x+2} \leq 0.

Passo 5

Para trabalhar mais confortavelmente com os sinais, multiplicar numerador e denominador por -1 (ou simplesmente observar que dividir a expressão por -1 inverte o sinal da desigualdade). Logo a inequação é equivalente a
\frac{(x-1)(x-3)}{x+2} \geq 0.
Explicação didática: multiplicar ambos os lados de uma desigualdade por -1 troca \leq por \geq. Aqui apenas removemos o sinal negativo do numerador e invertimos a desigualdade.

Passo 6

Identificar pontos críticos que mudam o sinal da expressão racional:
  • Zeros do numerador: x=1 e x=3 (a expressão vale 0 nesses pontos).
  • Zeros do denominador: x=-2 (a expressão é indefinida aí; não pode ser solução).
    Portanto os pontos que dividem a reta em intervalos são x=-2,\,1,\,3. Vamos analisar o sinal da função
g(x)=\frac{(x-1)(x-3)}{x+2}
em cada intervalo formado por esses pontos.

Passo 7

Método do quadro de sinais (explicando como fazer na prova): escolher um valor-teste em cada intervalo e verificar o sinal de cada fator (x-1), (x-3) e (x+2); o sinal da fração é o produto desses sinais.
Intervalos a testar: (-\infty,-2), (-2,1), (1,3), (3,\infty).
  • Para x<-2 (por exemplo x=-3):
    • x-1<0, x-3<0, x+2<0.
    • Produto numerador: <0\cdot<0=+; dividir por denom negativo dá resultado +\div - = -.
    • Logo g(x)<0 nesse intervalo.
  • Para -2<x<1 (por exemplo x=0):
    • x-1<0, x-3<0, x+2>0.
    • Numerador: <0\cdot<0=+; dividir por + mantém +.
    • Logo g(x)>0 nesse intervalo.
  • Para 1<x<3 (por exemplo x=2):
    • x-1>0, x-3<0, x+2>0.
    • Numerador: >0\cdot<0=-; dividir por + mantém -.
    • Logo g(x)<0 nesse intervalo.
  • Para x>3 (por exemplo x=4):
    • x-1>0, x-3>0, x+2>0.
    • Numerador: >0\cdot>0=+; dividir por + mantém +.
    • Logo g(x)>0 nesse intervalo.

Passo 8

Interpretar o requisito g(x)\geq 0: precisamos dos intervalos onde g(x) é positivo ou zero.
  • Intervallo onde é positivo: (-2,1) e (3,\infty).
  • Zeros incluídos porque a desigualdade é \geq 0: x=1 e x=3 tornam g(x)=0 e são permitidos (desde que o denominador não zere).
  • O ponto x=-2 não pode ser incluído porque o denominador zera ali e a expressão original não está definida.
Portanto, as soluções são os x em (-2,1] e em [3,\infty).

Passo 9

Verificação rápida com pontos:
  • x=0 (está em (-2,1]): verificar na expressão original \frac{4x-7}{x+2} \leq x-2 -3{,}5 \leq -2, verdade.
  • x=2 (está em (1,3), que não é solução): dá 0{,}25 \leq 0, falso.
  • x=4 (está em [3,\infty)): dá 1{,}5 \leq 2, verdade.
    Esses testes confirmam a classificação dos intervalos feita acima.

Resposta

(-2,1]\cup[3,\infty)

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