Resolva as inequações.
\frac{2 x-3}{x-1} \leq 0

Passo 1

O enunciado pede resolver a inequação racional
\frac{2x-3}{x-1}\le 0.
Informações dadas e objetivo claro:
  • A expressão é a razão entre o numerador 2x-3 e o denominador x-1.
  • Procurar todos os valores de x que tornam a fração menor ou igual a zero.
  • Lembrar que valores que anulam o denominador não pertencem ao domínio da expressão (são proibidos).

Passo 2

Determinar os pontos importantes (zeros do numerador e zeros do denominador).
  • Zerar o numerador: resolver 2x-3=0. Então
2x-3=0 \quad\Rightarrow\quad 2x=3 \quad\Rightarrow\quad x=\tfrac{3}{2}.
  • Zerar o denominador: resolver x-1=0. Então
x-1=0 \quad\Rightarrow\quad x=1.
Observações: x=\tfrac{3}{2} torna o numerador zero (a fração fica igual a zero desde que o denominador não seja zero). x=1 anula o denominador, portanto x=1 não está no domínio e nunca pode ser solução.

Passo 3

Explicar o método de sinais (didático e passo a passo).
  • Uma fração \dfrac{A(x)}{B(x)} só pode mudar de sinal onde A(x)=0 ou B(x)=0.
  • Assim os pontos críticos aqui são x=1 e x=\tfrac{3}{2}.
  • Vamos dividir a reta real em intervalos entre esses pontos e testar o sinal da fração em cada intervalo.
  • Regras úteis:
    • Se o numerador e o denominador têm sinais iguais em um intervalo, a fração é positiva.
    • Se tiverem sinais opostos, a fração é negativa.
    • Onde o numerador é zero (e o denominador não), a fração é zero (aqui incluímos esse ponto porque a desigualdade permite \le 0).
    • Onde o denominador é zero a expressão é indefinida (esse ponto não entra na solução).

Passo 4

Construir os intervalos e testar sinais.
Os pontos críticos em ordem crescente são 1 e \tfrac{3}{2}. Dividimos a reta em três intervalos:
(-\infty,1),\quad (1,\tfrac{3}{2}),\quad (\tfrac{3}{2},\infty).
Vamos escolher um ponto teste em cada intervalo e avaliar o sinal de numerador 2x-3 e denominador x-1.
  1. Intervalo (-\infty,1). Escolhe x=0.
  • Numerador: 2\cdot0-3=-3<0.
  • Denominador: 0-1=-1<0.
  • Sinal da fração: (-) / (-) = +. Portanto a fração é positiva neste intervalo, não satisfaz \le 0.
  1. Intervalo (1,\tfrac{3}{2}). Escolhe x=1{,}2 (ou 6/5).
  • Numerador: 2\cdot1{,}2-3=2{,}4-3=-0{,}6<0.
  • Denominador: 1{,}2-1=0{,}2>0.
  • Sinal da fração: (-) / (+) = -. Portanto a fração é negativa neste intervalo, satisfaz \le 0.
  1. Intervalo (\tfrac{3}{2},\infty). Escolhe x=2.
  • Numerador: 2\cdot2-3=4-3=1>0.
  • Denominador: 2-1=1>0.
  • Sinal da fração: (+) / (+) = +. Portanto a fração é positiva neste intervalo, não satisfaz \le 0.

Passo 5

Tratar os pontos críticos individualmente e combinar resultados.
  • Em x=\tfrac{3}{2} o numerador é zero e o denominador é \tfrac{3}{2}-1=\tfrac{1}{2}\neq0, logo a fração vale 0. Como a desigualdade é \le 0, incluímos x=\tfrac{3}{2}.
  • Em x=1 o denominador é zero; a expressão é indefinida, portanto x=1 não pode ser solução.
  • Dos testes em intervalos, apenas o intervalo (1,\tfrac{3}{2}) produz fração negativa. Juntando com o ponto onde a fração é zero, obtemos o conjunto de soluções
(1,\tfrac{3}{2}].

Resposta

(1,\tfrac{3}{2}]

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