Resolva as inequações.
Passo 1
O enunciado pede resolver a inequação racional
Informações dadas e objetivo claro:
- A expressão é a razão entre o numerador
e o denominador . - Procurar todos os valores de
que tornam a fração menor ou igual a zero. - Lembrar que valores que anulam o denominador não pertencem ao domínio da expressão (são proibidos).
Passo 2
Determinar os pontos importantes (zeros do numerador e zeros do denominador).
- Zerar o numerador: resolver
. Então
- Zerar o denominador: resolver
. Então
Observações:
torna o numerador zero (a fração fica igual a zero desde que o denominador não seja zero).
anula o denominador, portanto
não está no domínio e nunca pode ser solução.
Passo 3
Explicar o método de sinais (didático e passo a passo).
- Uma fração
só pode mudar de sinal onde ou . - Assim os pontos críticos aqui são
e . - Vamos dividir a reta real em intervalos entre esses pontos e testar o sinal da fração em cada intervalo.
- Regras úteis:
- Se o numerador e o denominador têm sinais iguais em um intervalo, a fração é positiva.
- Se tiverem sinais opostos, a fração é negativa.
- Onde o numerador é zero (e o denominador não), a fração é zero (aqui incluímos esse ponto porque a desigualdade permite
). - Onde o denominador é zero a expressão é indefinida (esse ponto não entra na solução).
Passo 4
Construir os intervalos e testar sinais.
Os pontos críticos em ordem crescente são e
. Dividimos a reta em três intervalos:
Os pontos críticos em ordem crescente são
Vamos escolher um ponto teste em cada intervalo e avaliar o sinal de numerador
e denominador
.
- Intervalo
. Escolhe .
- Numerador:
. - Denominador:
. - Sinal da fração:
. Portanto a fração é positiva neste intervalo, não satisfaz .
- Intervalo
. Escolhe (ou ).
- Numerador:
. - Denominador:
. - Sinal da fração:
. Portanto a fração é negativa neste intervalo, satisfaz .
- Intervalo
. Escolhe .
- Numerador:
. - Denominador:
. - Sinal da fração:
. Portanto a fração é positiva neste intervalo, não satisfaz .
Passo 5
Tratar os pontos críticos individualmente e combinar resultados.
- Em
o numerador é zero e o denominador é , logo a fração vale . Como a desigualdade é , incluímos . - Em
o denominador é zero; a expressão é indefinida, portanto não pode ser solução. - Dos testes em intervalos, apenas o intervalo
produz fração negativa. Juntando com o ponto onde a fração é zero, obtemos o conjunto de soluções